CHAPITRE IL — EXEMPLES DIVERS. a

auxiliaire parkllèlement à lui-même avec le grand cercle quHl contient, et on les rabattra suivant E"Y^e"; puis, comme au n^ S8, on constmira le rabatter ment E ''S'' du rayon lumineux, qui ira rencontrer le grand cercle au point F''; et dès lors on pourra affirmer que la courbe d ombre est projetée latéralement suivant la droite OT'^ sans tracer aucun des petits cercles que nous avions employés au n® 59.

Maintenant, pour revenir de la projection auxiliaire OT" à la projection sur le plan vertical, il suffira de tracer divers rayons lumineux CH', TK',..., lesquels seront projetés sur le plan auxiliaire suivant les droites G"W^ l"K',.:. parallèles à E"S*'; et les points H", K",... où. ces demies rencontreront le diamètre O'^F^^, étant rapportés sur le plan vertical par des perpendiculaires à la ligne de terre E^e", fourniront autant de points H', K'... de la courbe .cherchée I/K'H'FP.

63. Du point de raccordement La courbe d ombre portée sur la sphère par Pl. 4. 1 arc de tête (A'D'B', AB) doit évidemment se terminer au point M' où elle rencontrera le cercle horizontal (A'B', ACB), puisque ce cercle est la limite qui sépare la sphère du cylindre droit; et par la même raison, ce point M' devra aussi appartenir à Tombre portée déjà sur ce cylindre par le même arc de tête.

De plus, en ce point commun M', les deux courbes L'H'JVT et C'Q'M' devront 5e raccorder, c'est-à-dire avoir la même tangente. En effet, pour lune ou pour lautre de ces courbes, la tangente sera Tintersection du plan tangent au cylindre lumineux le long de la génératrice M' D', avec le plan tangent de la sphère en M', ou avec le plan tangent du cylindre droit en M'; or ces deux derniers plans sont confondus pour ce point, puisque la sphère et le cylindre droit se touchent tout le long du cercle horizontal (A'B', ACB) ; donc aussi les tangentes aux deux courbes ne formeront qu'une seule et même ligne droite. Ces diverses circonstances doivent faire sentir combien il est important de savoir déterminer ce point M' par une construction directe, afin que le contour de l'ombre totale n'offre pas en cet endroit une discontinuité qui choquerait l'œil ; et c'est cette recherche qui va nous occuper.

64. Le point (M, M') qu'il s'agit d'obtenir se trouve à la fois sur deux grands cercles de la sphère, savoir: le cercle horizontal (ACB; A'B'), et le grand cercle d'ombre portée, lequel est projeté latéralement sur la droite O'F"; donc le point en question se trouvera placé sur le diamètre horizontal qui sera l'intersection des plans de ces deux grands cercles. Or ce diamètre inconnu, que je représente provisoirement par OR , serait déterminé si j'avais la distance BR à laquelle il va rencontrer la tangente bcNrizontale (BR, B'); mais cette tan-

a6 LIYBE 1. -* THÉORIE DBS OMBRES.

génie se projette évidemment, sur le plan auxiliaire, suivant la droite BaB' perpendiculaire à la ligne déterre; d^ailleurs, le diamètre inconna étant dans le plan de la coiirbe d'ombre , il a pour projection la droite 0"V qui va rencontrer BsB' au point R''; donc la longueur B^R'' est la portion cherchée de la tangente horizontale (BR, B'), car cette dernière droite était parallèle au plan auxiliaire , et a dû s'y projeter en vraie grandeur.

Ainsi, il faudra porter la longueur B2R" de B en R; puis, en tirant RO, ce diamètre coupera le cercle ACB en un point M que Ion projettera en M' sur A'BM)ans la pratique, on pourra simplifier cette opération en lexécutant sur le cercle A'D'B', que Ion regardera comme le rabattetuent du cercle horizontal (ACB, A'B') autour de la droite A'B'; mais nous n'avons pas voulu parler d'abord de ce nouveau rabattement, parce quHl aurait rendu les raisonnements plus longs et moins faciles à saisir.

65. Il arrive quelquefois que le point R^ se trouve à une distance très-grande et incommode; alors, pour déterminer le diamètre inconnu OR, il n'y a qua chercher le point Z où il rencontre l'autre tangente VZ. Or le point (V, O') se projette en V*' sur le plan auxiliaire, et V"Z" représente alors la distance cherchée ; mais comme elle ne se projette pas ici en vraie grandeur, il faudra projeter le point Z" sur A'B' en Z', puis ramener ce dernier point sur VZ, et tirer le diamètre ZO qui fera connaître le point M.

66. De ta tangente. Cette droite s'obtiendrait, pour un point quelconque H', par la rè^e générale qui consiste à combiner le plan tangent du c^'lindre oblique le long du rayon lumineux G'H^ avec le plan tangent de la sphère au point H'; mais il sera plus simple de remplacer ce dernier plan taogent par le plan même de la ligne d'ombre que nous savons ctre ici une courbe plane; et c'est cette méthode que nous allons appliquer spécialement au point M' qui dffre le plus d'intérêt.

Le plan de la courbe d'ombre passe par le centre O' de la sphère, et aussi parle point 1/ qui appartient à la courbe même; donc O'L'O'' est la trace de ce plan sur le plan de tête AB que nous adoptons pour plan vertical de projection. Ensuite, le plan tangent du cylindre oblique pour le point M' doit passer par le rayon lumineux M^D' et par la tangente D'T' menée à l'arc de tête qui est la directrice de ce cylindre; donc cette tangente , qui se trouve dans le jrfan ée tête , est précisément la trace verticale du plan tangent au cylindre oblique. Par conséquent le point T' où se couperont les deux traces OL'O" et D'T', sera un point de l'intersection du plan tangent avec le plan de la courbe , et par suite un poûftt de la langente cherchée, laquelle sera donc projetée i»ur T'M'.