AC = AF.^, BC'=BF

qui sont bien les valeurs de r et R dans les formules (3) et (4).

Cette construction élégante est indiquée dans le Traité de la construction des ponts par Gauthey, vol. I, page ^48; seulement, les valeurs des rayons R et r y sont écrites sous une forme qui ne s'adapte pas immédiatement à la solution graphique que Ton cite. G est là , sans doute , ce qui a fait dire à M. Audoy, dans son excellent Mémoire sur la poussée des voûtes y inséré au n^ 4 ^^ Mémorial du génie , que les formules de Gautbey étaient fausses ; cependant elles sont exactes, et il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par un certain facteur, pour les rendre identiques avec les nôtres qui sont celles de M. Audoy. Mais ce dernier a eu raison de faire observer que la solution précédente ne rend pas les l^ayons aussi peu différents qu il est possible , et nous allons rapporter la solution qu'il donne de ce cas.

983. Troisième méthode. Si Ion voulait que la différence des rayons R et rfût un minimum, on tirerait de Téquation (i)

et en égalant à zéro la différentielle de cette expression, on trouverait

équation qui, combinée avec la formule (i), conduit à

(5) r = 6-Ka-A)V^,

Nous rejetons celle des valeurs de r qui donnerait r>R, parce qu alors les deux cercles ne se raccorderaient qp'au delà de la clef; et pour construire les expressions (5) et (6), on prendra OE = OF = (a — 6), on tirera EF dont la Pl. 34, moitié El devra être portée de E en C et de F en G, ce qui fournira les deux FiG. 12. centres et les rayons GA et C'CM.

984. Mais, dans isijig. 12, le cintre est trop pointu vers la naissance, parce que Tare AM n est que de 45^ tandis que dans Idifig. 1 1 le point de raccordement M est plus élevé; et il Test encore davantage dans la-/^. 10 où Tare

AM = 60^, et où les rayons R et r sont plus grands. Aussi, presque toujours on emploie la première solution [jig. 10), surtout pour les arches des ponts qui exigent que la voûte ait une grande capacité intérieure; et c'est ce motif qui fait souvent préférer Tanse-de-panier à Fellipse dont les demi-axes seraient OA et OB, parce que cette dernière courbe serait généralement en dedans du cintre AMB. En effet, si Ton compare les rayons de courbure de lellipse en A et B avec les valeurs des rayons r et R données par la formule (2), savoir : '

on vérifiera aisément que Ton a ^

p<r et p'<R, tant que— >|;

or, quand le surbaissement est au-dessous de ^, on emploie plus de trois centres*

985. Jnse-de-panier à 5 centres. Lorsque la hauteur «ms clef OB est moindre que le tiers de l'ouverture AOD, on emploie cinq centres , afin de rendre moins sensible le changement de courbure aux points de raccorde- Pl. 34 ™ci^t« Soient C, C\ Cj les trois centres du demi-cintre situé à gauche, centres FiG. i3. ^^^^ ^^ premier doit toujours être sur le diamètre horizontal AO et le dernier sur la verticale BO ; posons d ailleurs

CA=:CL = r, eL = C'M=r', C''M = C''B = R.

La question resterait encore indéterminée, même après avoir choisi arbitrairement les rayons extrêmes AG et BG", ce qui fixe les centres G et G"; car, pour trouver le rayon intermédiaire et son centre , on n aurait que les deux relations

GG' = r'-^rj G"G' = R - r'

entre trois inconnues; ou bien, Téquation unique

CG' H- C'G'' = R - r

entre les deux distantes variables GG' et G'G'', ce qui montre que le centre G' pourra se construire comme chaque point d'une ellipse dont les foyers seraient G et G'', et dont le grand axe égalerait R — r. Seulement, il faudrait que les

données R et r satisfissent à la condition