CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS. 3l

supposé terminé au sommet Â""; mais si le cercle CA'' était complètement achevé, il faudrait continuer les constrnctions générales jusqu'au point diamétralement opposé à H'^

76. La courbe d'ombre qui nous occupe est nécessairement une ellipse y et conséquemment il en est de même de sa projection H'F'G^ En effet, cette courbe résulte de Tintersection du berceau de Tarche avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui s appuient sur Tare de tête (CA^', CA), lequel se trouve ainsi la base commune de ces deux cylindres; or, nous avons démontré au n^ 748 de la Géométrie descriptive que, quand deux cylindres du second degré se coupent suivant une première courbe plane que Ton nomme courbe d'entrée y la seconde branche d'intersection, ou la courbe de sortie, est aussi plane; donc cette dernière ne peut être ici qu'une ellipse.

D ailleurs, comme nous avons reconnu (n" 75) que le point H^ appartenait à la courbe de sortie, etqull en serait évidemment de même du point diamétralement opposé à celui-là sur le cercle de tête CA'^, il s ensuit que le diamètre AH'' est Imtersection commune du plan de la courbe de sortie avec le plan de la courbe d'entrée.

77. De la tangente. Pour un point quelconque F' de la courbe G' F' H', la Pl. 5. tangente pourrait s'obtenir par la méthode ordinaire, en cherchant 1 mtersection

des deux plans qui sont tangents dans le point (F', F'), lun au cylindre droit de la voûte, lautre au cylindre oblique des rayons lumineux ; mais, puisquici la courbe d ombre est plane (u^ 76), il sera plus simple de combiner le plan de cette courbe avec un seul des plans tangents aux cylindres. D'ailleurs cette seconde méthode devient la seule applicable au point (H', H''), parce qu'en cet endroit les deux plans tangents sont confondus et laisseraient la tangente indéterminée. En effet, le plan tangent du berceau de l'arche passe par la tangente WV menée à lare de tête, et par la génératrice horizontale qui se projette sur Je plan auxiliaire AG au point H''; donc ce plan tangent est perpendiculaire au plan auxiliaire, et a pour trace H^L''. Quant au plan tangent du cylindre oblique, il doit passer encore par la même tangente WV et par le rayon lumineux qui part du point (H'', H'); mais ce rayon paiticulier est projeté sur le plan auxiliaire suivant la droite WL" elle-même; donc ce deuxième plan tangent est aussi perpendiculaire au pian auxiliaire, et il a la même trace H^'L'' que le premier plan tangent; par conséquent il se confond avec lui, et leur intersection demepre indéterminée.

78. Pour obtenir la tangente au point (H^ H") nous sommes donc obligés de combiner le plan tangent du berceau de l'arche avec le plan de la courbe d'om-

3a LIVRE I. — THÉORIE DES OMBRES.

bre, et nous allons chercher leurs traces sar le plan vertical CD tangent à la naissance de la voûte, lequel est plus rapproché de nos constructions. Or le plan langent du berceau, conduit parla droite H"I/, ira couper le plan vertical CD suivant une horizontale qui passera évidemment parle point rabattu en h"; donc en relevant ce point autour de AC, il se projettera en L', et la droite L'T' sera la projection de la trace verticale de ce plan tangent.

Quant au plan de la courbe d ombre, il passe (n^ 76) par le diamètre AH'' qui va percer le plan vertical CD au point M'', lequel doit être évidemment relevé en M'. D ailleurs ce même plan devra contenir une parallèle à ce diamètre, qui sera menée par un point quelconque de la courbe, tel que (G", G'); or cette parallèle a évidemment pour projections la droite G''N" parallèle à AH", et la verticale G'N'; et comme elle va percer le plan vertical CD au point N" qui doit être relevé en N' sur G'N', il s'ensuit que M'N' est la projection de la trace verticale du plan de la courbe d ombre. Donc enfin, les deux traces M'N' et L'T' allant se couper au point P, la droite T'H' est la tangente demandée.

79. Il est bon d'observer que le point K' où la trace M'N' va couper la génératrice (CDy CD') située à la naissance du berceau, appartient nécessairement à la courbe d'ombre prolongée; et que cette courbe doit être tangente à la trace M'N' au point K'. En effet, cette trace est Imtersection du plan de la courbe d'ombre avec le plan vertical CD ; et celui-ci se trouve tangent au berceau tout le long de la génératrice (CD, CD').

80. Pour achever le contour des ombres portées sur le berceau de l'arche , il faut reprendre la marche du rayon lumineux à partir de là position (A"G", A'G' ) où il était parvenu au point culminant du cintre; et observons que, dans cette position, ce rayon avait pour projection horizontale AG parallèle àCS; donc si Ton projette sur cette droite le point G" en G, ce dernier point devra cort*espondre à G', ce qui fournira une vérification des constructions antérieures, ensuite, puisque l'arche est supposée terminée à la génératrice supérieure (AB, A'B'), le rayop lumineux va glisser le long de cette arête saillante, et il produira ainsi un plan d'ombre qui aura pour trace sur layî^. 3 la droite A'^G", et qui devra couper le berceau suivant une génératrice, laquelle sera évidemment G'Q'.

Pl. 5. 81. Ombres sur l'éperon DI et sur le mur de quai. Le dernier point Q' de l'ombre précédente est produit par le rayon lumineux Q' F qui s'appuie en P' sur la génératrice culminante du berceau : donc la projection horizontale de ce rayon lumineux s obtiendra en projetant le point P' en P sur A6 , et en tirant