GBAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

Ombres d'un Piédouche.

92. Un piédouche se compose principalement de trois parties, terminées toutes par des surfaces de révolution qui ont un axe commun et veitical :

I® le bandeau cylindrique décrit par la révolution de la verticale G' G"; a^ la Pl. 6, scotie dont la méridienne G'H'K' est une courbe qui tourne sa concavité à Fig. k l'extérieur et qui se termine par deux tangentes horizontales; 3"" la base cylin^ drique décrite par la révolution de la verticale K'R". Le piédouche fait ordi* nairement partie des moulures qui entrent dans les bases des colonnes; d'autres fois , et c'est le cas que nous considérons ici , le piédouche est employé comme un support isolé pour soutenir un buste ou quelque autre objet portatif. Dans ce cas, il est souvent accompagné de diverses moulures, telles que celles qui sont marquées dans \aifig» a; on y voit au-dessus de la scotie, deux filets cylindriques séparés par un petit tore, eu forme de cordon saillant; puis, au-dessous de la scotie, se trouvent un autre filet cylindrique, un quart de rond et enfin un dernier cylindi*e pour base. Mais afin de manifester plus clairement aux yeux du lecteur les circonstances délicates et importantes qu'offre la détermination géométrique des ombres du piédouche , nous réduirons ce corps aux trois parties essentielles qui sont indiquées dans la y!^. i.

93. Pour tracer la scotie, on peut employer deux cavets ou quarts de cercle Fie^ 2. qui se raccordent ; et si Ton observe que la distance GL doit être la somme des rayons, et KL leur différence, on verra aisément qu'en élevant la verticale KO

égale à la demi*somme KD plus la demi-différence DO, on obtiendra le rayon O'K de lare inférieur KH, et le rayon OG de l'arc supérieur GH.

94. Pour donner plus ou moins de profondeur à la scotie, on peut prendre ^ le rayon go arbitraire, et décrire un arc indéfini gh; puis élever la perpendiculaire A(/ égale à go^ tirer la droite od^ et sur son milieu on élèvera la perpendiculaire io\ laquelle ira rencontrer la verticale kd au point o' qui sera le centre de l'arc inférieur kh. Car on doit voir que ces deux arcs se raccorderont au point h situé sur la ligne des centres 00' .

95. Il est vrai que dans les deux méthodes précédentes , la méridienne offre Pl. 6, aux points H et A un changement subit de courbure ; pour éviter cet inconvé- Fig. 3. nient, il vaudrait mieux tracer un denùd-cerde sur la droite GK comme diamètre, ou même tracer une demi-ellipse qui aurait GK pour grand axe et un

petit axe arbitraire; puis, on inclinerait toutes les ordonnées de cette première

38 LIVRE I. — THÉORIE DBS OMB&SS.

courbe de manière à les rendre parallèles à Thorizontale GI, ainsi quon le voit dans ysifig, 3; et l'on obtiendrait ainsi pour méridienne une demi-ellipse continue, laquelle serait bien terminée par deux tangentes horizontales. Pl. 6, 96. Revenons à la 6gure principale que nous supposons éclairée par des FiG. I . rayons lumineux tous parallèles à la direction (OS, CKS') , et cherchons d'abord la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la scotie. Cette courbe étant la ligne de contact de la surface de révolution avec un cylindre circonscrit qui serait parallèle à la droite (OS, O'S'), il suffira d'appliquer ici la méthode exposée au n** 584 de la Géométrie descripiiue, et nous allons seulement la rappeler d\ine manière succincte.

97. Soit Pp' un paratl^e quelconque de la surface de révolution, et Op' la tangente chi méridien qui correspond à ce parallèle : cette tangente décrira, en tournant avec la méridienne, un cône droit auquel il faudra mener deux plans tangents qui soient parallèles aux rayons lumineux. Pour cela, transportons ce cône parallèlement à lui-même jusqu'à ce qœ son sommet C vienne au point O' par lequel nous avons déjà mené le rayon lumineux (OS, O'S'); alors la gén^atrice de ce cône deviendra la droite O'T' parallèle à C'//, et la trace horizontale sera le cercle du rayon OT. Si donc on décrit un demi-cercle sur OS comme' diamètre, les points d'intersection de ces deux circonférences feront connaiti-e les génératrices OI et Ot suivant lesquelles ie cône est touché par les plans tangents dont nous avons parlé. Ensuite , les points M et m où ces génératrices rencontreront le parallèle Pp seront deux points de la courbe cherchée, et leurs projections verticales M' et m' s'en déduiront immédiate* ment.

On peut encore trouver deux autres points sans de nolivelles opérations, pourvu qu'on choisisse un parallèle Q'q' pour lequel la tangente de la méridienne au point Q' soit parallèle à Gp'; car on a vu, en géométrie descriptive, qu'il suffisait de prolonger les rayons OI et Ot jusqu'aux points n et M ou ils vont rencontrer le cercle Qnjf, puis de projeter ces points eu nf et N'.

98. On trouve directement les deux points (D, D') et (rf, d') situés sur le cercle de gorge, parce que les plans tangents parallèles au rayon de lumière étant ici verticaux, leurs points de contact seront donnés par le diamètre Dd perpendiculaire à OS. Par une raison semblable , on obtiendra les points situés sur la méridienne principale en menant des tangentes à cette méridiemie qui soient parallèles à la projection 0'S^

99. ÂÉepoint le plus haut de la courbe doit être évidemment dam le plan verti€»d OS y et il s'obtiendrait en menant à cette méridienne une tangente parallèle au