CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVBBâ. âg

rayon lumineux. Pour effectuer cette construction, on rabattra cette méri* dieune sur le plan vertical , et on cherchera le point a' où la tangente est parallèle an rayon rabattu O'S"; puis, après avoir projeté ce point a' en a, on ramènera celui-ci par un arc de cercle en A, et enfin on projettera ce dernier en K sor'Fhoriaontale menée par le point a'. On trouvera le point le plus bas (F, F') par une construction semblable, et la courbe de séparation d ombre et de lumière sera enfin

(ABDMEFem(/6A, A'B'D' M'E'FVm'rfV/A').

100. Observons ici que cette ligne aura quatre points (B, B'), (fe, 6'), (E, E'), (e, e'), où les rayons de lumière seront tangents non-seulement à la scotie, mais encore à la courbe de séparation d'ombre, comme nous le démontrerons plus loin (n^ iOft), en donnant une méthode graphique pour les déterminer. Mais pour ne pas faire ici une digression trop longue , nous admettrons provisoirement lexistence de ces points singuliers qui sont très-remarquables, surtout parce qu'ils produiront quatre points de rebroussenient dans la courbe d ombre portée par la scotie sur le plan horizontal.

101. Pour trouver cette ombre portée aiSâ&p...^ il suffit de prolonger les rayons lumineux qui passent par les divers points de la courbe de séparation d ombre, et de chercher les points où ces rayons vont percer le plan horixontal. Ainsi le point (A , A') fournira le point a de Tombre portée ; le point (B, B') donnera le point de rebroussement ê; le point (D, D') le point <f; (E, E') donnera le point de rebroussement 6, et ainsi de suite. Mais cette ombre sera en partie recouverte par celle du bandeau et de la base, que nous allons construire.

102. D abord, les rayons lumineux qui glisseront sur le demi-cercle supérieur (Ljf/, L"(/") produiront un cylindre oblique qui viendra couper le plan horisoQtal suivant un demi-oercle V'X'V dont le centre « s'obtiendra en menant un rayon de lumière par le centre (O, O"). Ensuite le rayon lumineux glbsera le long de la verticale WU qui est évidemment la séparation d'ombre sur le cylindre du bandeau, et il produira ainsi une ombre rectiligne V V qui sera tangente au cercle précédent. Parvenu au point (L, L'), le rayon lumineux glissera le long du demi*cercle inférieur (LG/, UG'), et produira encore un cylindre oblique qui coupera le plan horizontal suivant une demi-circonfé^ rence V'IL'v' dont le centre sera le point (S, S').

On trouvera d'une mamèi*e semblable que l'ombre portée sur le plan horizostal par le cybndre ¥k!k'k^¥i!* se compose de deux droites DW et uw, et

4o UVRE I. — THÉORIE DES OMBRES,

d un demi-cercle WYu; dont le centre est donné par le rayon de lumière qui partira du point (O, O'*'). Pl. 6, 103. Toutefois, il faut observer que le demi-cercle V'X'v' venant rencontrer la FiG. 1. courbe S^s... au point y, cela indique que le rayon de lumière qui aboutit à ce point, s^appuie à la fois sur le cercle inférieur du bandeau et sur la scotie qu il touche en un point p' que Ion déterminera en tirant le rayon lumineux y'//; de sorte qu à partir de cette position , Tombre du bandeau tombera sur la scotie et y tracera une courbe p'X'Tr' que Ton déterminera de la manière suivante :

On coupera la scotie par un plan horizontal quelconque Q'9', ce qui donnera un cercle facile à tracer sur le plan horizontal ^ puisque Ton connaît son diamètre Q9; le même plau sécant coupera le cylindre oblique des rayons lumineux qui s'appuient sur le bandeau, suivant un cercle égal à celui du bandeau, et dont le centre sera à la rencontre de Q'9' avec O'S'; alors ces deux circonférences fourniront par leui'S intersections deux points de la courbe cherchée, lesquels devront être projetés sur Q'9'. Nous n'avons pas effectué ici cette construction , par la crainte de jeter de la confusion dans Tépure; mais nous nous sommes contenté de marquer le point tt' qui correspondra p\ et de construire le point le plus haut par la méthode suivante:

104. Ce point le plus haut est évidemment fourni par le rayon lumineux qui part du point (/x, jul'), et qui va rencontrer la méridienne située dans le plan vertical SOjul; par conséquent, si Ion rabat cette méridienne sur le plan vertical, et que par le point G' on mène une parallèle G'X" à O'S", le point X", où elle coupera la méridienne principale, devra être ramené par une horizontale sur la projection |x'X', et donnera ainsi le point le plus haut X' que Ion cherchait.

Il u est pas besoin d'observer que si Ion voulait compléter, sous le rapport géométrique, la courbe en question qui est Tintersection d'une surface de révolution avec un cylindre oblique à base circulaire , on trouverait une ligne fermée dont tous les points se construiraient par la méthode du n^ 103, et dont le point le plus bas s'obtiendrait en agissant comme nous venons d opérer pour le point le plus haut.

105. Le cercle WYiu allant couper aussi la courbe S&i au point ^, il s ensuit que le rayon lumineux qui aboutit à ce point Ç s appuie en (Z, Z') sur la base du piédouche, et touche en même temps la scotie au point (ij/, (|^'); par con^ séquent la poition (^ME, (|^'M'E') de la séparation d ombre et de lumière sur la scotie ira projeter son ombre sur cette surface même, suivant une courbe