CHAPITRE IL — EXEMPLES D1VER8. 4t

(EZ, E'Z') dont on pou^a trouver un point intermédiaire par la construction suivante que nous ne ferons qu^indiquer au lecteur.

Par un point (M, M') on conduira un plan vertical qui soit parallèle au rayon lumineux, et Ton construira la courbe suivant laquelle ce plan coupera la scotie, ce qui sera bien facile à effectuer, puisqu'il n'y aura qu a projeter sur le plan vertical les points où la trace horizontale de ce plan sécant rencontrera les divers parallèles de cette surface de révolution. Cela posé, en menant par le point (M, M') un rayon lumineux, sa projection verticale ira rencontrer la section dont nous venons de parler, en un point qui appartiendra à la courbe (EZ,E'ZO.

106, Cette ligne d ombre portée par la scotie sur elle-même viendra se terminer précisément au point (E, E'), parce que nous démontrerons plus loin {n? 113) qu'en ce point singulier, le rayon lumineux a un contact du second ordre avec la scotie, ce qui indique qu'alors trois points de section de la droite avec la surface se sont réunis en un seul; or cette circonstance est évidemment celle qui doit se présenter pour l'endroit où la ligne d'intersection (EZ,E'Z') se réunira à la ligne de contact (DMF,D'M'F'). On trouvera semblablement une autre branche (^, e'z') qui sera encore l'ombre portée par la scotie sur elle-même.

107, Ce qui précède montre que l'arc (EFe, E'F'e') de la séparation de lumière devient tout à fait inutile comme ligne d'ombre ; et pour expliquer ce résultat singulier, il faut observer que les rayons lumineux qui glissent sur la scotie, depuis le point (B, B') jusqu'en (E, E^),sont tangents extérieurement à cette surface ; tandis que depuis le point (E , E') jusqu'en (F, F'), les rayons lumineux seraient tangents à la paroi interne de la surface, et ne peuvent pas arriver effectivement jusqu'à ces points de contact, attendu qu'ils sont interceptés par le solide opaque du piédouche qu'ils ont déjà renconti^é antérieurement. Afin de bien discerner cette différence de position , le lecteur pourra construire, par la méthode du n? 105 , plusieurs sections de la scotie faites par des plans verticaux parallèles aux raypns lumineux, lesquelles auront une forme analogue à celle que nous avons représentée dans la jf^. 4 ; ^^ il reconnaîtra qu'entre les points (B, B') et (E, E'), le rayon de lumière prend la position SM/x, où il touche la section en M et va la couper ensuite en jul; tandis FiG. i qu'entre les points (E,E') et (F, F'), le rayon lumineux prend la position et 4- Ss]UL,M, dans laquelle il coupe cette section au point jtx, avant de la toucher au point M,. Mais il y aura une position intermédiaire $2^ où le rayon lumineux

se trouvera tangent à la section verticale précisément au point d'inflexion £, ce

4l UVRE I. — THÉORIE DES OMBRES.

qui fera réunir en cet endroit la branche d'intersection (EZ, E'Z') avec la ligne de séparation de lumière, comme nous Tavons dit n^ 106; et nous aurons prouvé suffisamment que cette réunion doit avoir lieu au point {£,£'), lorsque nous aurons démontré (n** 115) qu'en ce point le rayon lumineux a un contact du second ordre avec la scotie.

Semblablement on verra que les rayoq^ lumineux qui touchent la scotie sur lare (BA6, B'A'fe') se trouvent tangents à la paroi supérieure, comme S4M4, mais ne peuvent arriver effectivement jusqu'au contact, tant que le plan du cercle G^ existe comme un corps opaque qui arrête les rayons de lumière en R. Il n'est pas besoin d'avertir le lecteur que si nous avons altéré le paralléHsme des rayons lumineux dans la^^. 4) c'était pour ne pas avoir à construire plusieurs sections de formes analogues , quoique tion identiques.

108. Nous avons annoncé au n^ 100 que la séparation d'ombre et de lumière sur la scotie présentait, en général, quatre points où les rayons lumineux étaient tangents non-seulement à cette surface , mais aussi à la courbe de séparation. Pour le démontrer, posons d'abord la question dans un ordre inverse : Pl. 6, étant donné un point (M, M') sur la méridienne»gf'/i'/[', trouver quelle doit être FiG. 5. la direction du rayon lumineux passant par ce point, pour qu'il soit tangent à la fois à la surface de révolution et à la courbe de séparation d'ombre et de lumière.

D'après les théorèmes relatifs à la courbure des surfaces (G. D., livre VIII), on sait que , dans toute surface de révolution , les sections normales de courbure maximum et de courbure minimum sont: i** la méridienne dont je construirai ici le rayon de courbure M'G = R relatif au point M'; 2** la section perpendiculaire à ce méridien et passant par la normale GM'H de la surface, laquelle section a précisément pour rayon de courbure la portion M'H = R' de cette normale. En outre, on sait (G. D., n^ 698) que l'on obtiendra un hy-> përboloïde gauche 1 osculateur de la scotie tout autour de M', si l'on rend l'ellipse et l'hyperbole principales de 1 osculatrices des deux sections indiquées ci-dessus. Donc, si l'on désigne par 2c l'axe dirigé suivant la normale M'G^ et par 2a et 26 les autres axes, il faudrait choisir leurs longueurs de manière que l'on eût

^- = R et *! = R'.

Mais puisque c reste arbitraire, prenons c^=^a^ et alors l'ellipse de gorge deviendra le cercle osculateur EM'F décrit avec M'6 = R, tandis que Taxe imaginaire sera 6 = \/a,R' = M'D qui s'obtient par une moyenne proportion-