CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

nelle entre M'G et M' H, avec le soin de se représenter cet axe égal à M'D comme élevé perpendiculairement au cercle de gorge par le centre G, Par là rbyberboloïde 2 se trouve complètement déterminé, et il sera osculateur de la scotie tout autour du point (M, M').

109. Cela posé, lorsquun cylindre est circonscrit à une surface quelconque, on sait (G. D., n® 758) que la tangente dans un point de la courbe de contact et la génératrice du cylindre qui passe par ce point, sont deux tongentes conjuguées qui jouissent de la propriété d'être respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section faite , parallèlement au plan tangent, dans lellipsoïde ou l'hyperboloïde osculateur de la surface au point considéré. Ainsi, dans le problème qui nous occupe, le rayon lumineux tangent à la scotie en M', et la tangente à ce point de la courbe de séparation d ombre et de lumière, seront pour cbaque direction assignée aux rayons lumineux, respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section hyperbolique faites dans Thyperboloïde 2 par le plan EF perpendiculaire au cercle de gorge. Or, puisque nous cherchons une direction telle que le rayon lumineux et la tangente à la courbe de séparation viennent à coïncider, il faut évidemment choisir ce rayon lumineux parallèle à l'une des asymptotes de l'hyperbole projetée verticalement sur EF; car, dans une telle courbe, on sait que deux diamètres conjugués qui se rapprochent de plus en plus l'un de l'autre, finissent par coïncider à la fois avec l'asymptote qui était la diagonale commune à tous les parallélogrammes formés par les divers couples de diamètres conjugués (*).

110. Effectuons cette construction. Les demi-axes de l'hyperbole projetée sur EF étant égaux à GF et M'D, j'imagine dans le plan tangent en M' un triangle rectangle qui ait pour base M'K' = GF, et dont le second côté perpendiculaire au plan vertical en K' soit égal à M'D ; alors l'hypoténuse serait bien parallèle à l'asymptote. Or la projection horizontale de ce triangle s obtient en projetant le point K' en I et prenant IK = M'D ; donc MK sera la projection horizontale, et M'K' la projection verticale d'un rayon lumineux qui remplira la double condition d'être tangent à la scotie et tangent à la séparation d'ombre, pour le point assigné (M, M').

(*) On voit par ce raisonnement que le point singulier que nous cherchons ici n'existera jaîmais dans une surface convexe; car pour une telle surface , la surface osculatrioe 2 du second degré serait nécessairement un ellipsoïde, dans lequel toutes les sections sont des ellipses; et pour une courbe de ce genre, il n*arrive jamais que deux diamètres conjugués puissent coïncider l'un avec Tautre.

111. Observons ici que ce rayon lumineux (MK, M'R') se trouve tout entier sur rhyperboloïde' osculateur 2, puisqu'il coïncide évidemment avec une des génératrices de cette surface gauche ; et par conséquent ce rayon lumineux aura aussi avec la scotie un contact du second ordre, relation que nous aurons besoin d'invoquer plus loin.

Pl. 6, 112. A présent, reprenons la question dans le sens primitif: Étant donnée la FiG. 5. direction (OS, O'S') d'un système de rayons lumineux parallèles, trouver quel est le point de la surface de révolution où le rayon de lumière sera tangent à la fois à cette surface et à la courbe de séparation d'ombre.

Pour y parvenir, je prends sur la méridienne principale ghk divers points M', P', QV-. et pour chacun d'eux je détermine, comme ci-dessus, les rayons lumineux (MK, M'K'), (PR, P'R'). (QT, QT),... qui rempliraient la double condition énoncée plus haut ; puis je leur mène des parallèles par le point (O, O'), lesquelles-forment un cône dont la trace horizontale est une courbe rkt facile à construire ; ensuite je fais tourner le rayon lumineux (OS, O'S') assigné par la question, autour de la verticale (O, O'Z') , ce qui forme un second cône dont la trace horizontale est le cercle du rayon OS. Or, ce cercle allant couper en via trace du premier cône, il en résulte que la droite (Ov, OV) est une génératrice commune aux deux cônes ; et conséquemment si Ton trace la tangente N' V parallèle à O'v', puis NV parallèle à Ov^ on sera certain que le rayon lumineux (NV, N'V) jouira pour le point (N, N') de la propriété énoncée plus haut, et qu'en outre il fera avec la verticale le même angle que le rayon primitif (OS,. OS'). Alors il n'y aura plus qu'à faire tourner ce rayon (NV, N'V) autour de l'axe vertical O, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle à (OS, O'S') ; et le point de contact (N, N') allant se transporter en un point (B, B') tel que l'angle BOf = VNI, on sera sûr que le rayon lumineux (BW, B'W) parallèle à (OS, O'S') jouira de la double propriété d'être tangent à la scotie et tangent à la courbe de séparation d'ombre pour le point (B, B').

En faisant usage de la seconde asymptote^ que nous n'avons pas employée ci-dessus, on trouvera un second point {b^b') qui jouira de la. même propriété, mais qui peut se déduire immédiatement du premier, en tirant la corde B6 , perpendiculaire au plan méridien OS; puis, en appliquant des procédés semblables à la méridienne ghk^ lorsqu'elle aura fait une demi-révolution, on trouvera deux autres points analogues, qui sont ceux que nous avons désignés par (E, E') et(e, e') sur la/îj. i.

113. Dans ces quatre points, le rayon lumineux se trouvera, par les raisons énoncées au n^ 111, avoir un contact du second ordre avec la sur-