OHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

le point (j^,y) se rabattra évidemment en (x, D"), et le plan d ombre viendra se projeter, sur le plan vertical OX, suivant la droite DV paraUèle à CS". Dans cette position, le plan DV coupe un parallèle K'O'" pris à volonté sur le quart de rond , suivant une corde qui se projette verticalement au point L\ et horizontalement suivant /7&jr; de sorte que les points pet 9 sont ceux où la circonférence de ce parallèle est rencontrée par le plan d ombre rabattu. Or, en ramenant le système dans sa première position, la corde plq ne changera pas de distance à Taxe et deviendra PLQ; par conséquent les points P et Q que l'on projettera en F et Q' sur le parallèle K'Cy, seront deux points de la courbe d ombre FR'Q^N' portée sur le quart de rond. La même méthode appliquée à d autres parallèles fournira autant de points qu'on le désirera ; mab remarquons bien à quoi se réduit la règle pratique. Pour chaque parallèle, on projettera le point de rencontre 1/ en /, on tracera Fordonnée Ip du cercle, et Ton portera immédiatement cette ordonnée depuis O'^ jusqu'en P et de CF jusqu'en Q', ce qui est très-simple.

125. Le point le plus haut de cette courbe, c est-à-dire celui où la tangente est horizontale, se trouvera nécessairement situé dans le plan vertical OT; et par une suite de la méthode générale, il s'obtiendra en rapportant en R' le point R où la méridienne principale est coupée par le plan d'ombre rabattu DV. Si l'on achevait entièrement cette méridienne circulaire E'P, elle serait coupée une seconde fois par la trace DV, ce qui fournirait semblablement un second point projeté sur O'Z' et où la tangente serait aussi horizontale; mais nous n'avons pas tracé ici les arcs de la section qui aboutiraient à ce nouveau sommet, parce qu'ils seraient situés sur la nappe intérieure du tore dont le quart de rond ne fait pas partie.

i26. Le même pïan d'ombre qui passe par l'arête inférieure du larmier (D;^, Dy), coupe le filet cylindrique F'V^ suivant une portion d'ellipse N'6' qui se construit parla méthode employée au n® 124, et plus simplement encore, ~ puisque dans ce cylindre tous les paraUèles sont égaux au cercle du rayon OF. D'ailleurs le sommet de cette ellipse qui serait projeté sur O'Z', se trouverait en prolongeant la verticale F' F'' jusqu'à sa rencontre avec la trace DV.

127. Le même plan d'ombre coupe encore le cavet suivant une courbe Q^n', et le gorgerin suivant une ellipse XV, lesquelles se construisent aussi par la méthode du n^ 124; et cette ellipse devra se terminer au point (s, /) où le gorgerin est rencontré par le dernier rayon lumineux (D5, DV) qui s'appuie sur l'arête du larmier. ^

128. Séparation d'ombre sur le quart de rond. Cette courbe étant la ligne de Pl. 8.

5o LIVRE I. — THÉORIE DfeS OMBRES,

eontact de la surface de révolution décrite par E'F' avec un cylindre circon-' scrit et parallèle aux rayons lumineux, elle se construira par la méthode générale qui est exposée au n** 584 de la Géométrie descriptive, et que nous allons rappeler succinctement. Après avoir choisi un parallèle arbitraire K'O", et avoir tracé à la méridienne la tangente K'T' qui décrirait un cône circonscrit le long du parallèle K'O", il faudrait mener à cexône un plan tangent qui fût parallèle au rayon lumineux: pour cela, je transporte ce cône parallèlement à lui-même, jusqu'à ce que son sommet arrive au point (O, O'), et alors sa génératrice devient la droite O'f' parallèle àK'T', tandis que sa base, considérée dans le plan horizontal S'z\ est le cercle décrit avec le rayon O^ Cela posé, comme il faut mener à ce cercle une tangente partant du point (S, S'), je décris une demi-circonférence sur OS comme diamètre, et le point m où elle coupe le cercle Ot étant le point de tangence, j'en conclus que l'arête de contact du plan tangent est projetée sur le rayon Om ; puis, en prolongeant ce rayon jusqu'à ce qu'il coupe le parallèle OK en un point M que je projetterai en M' sur K'O", j'obtiendrai un point (M, M') de la ligne cherchée. Si l'on complétait le tore dont le quart de rond fait partie, on aurait une courbe fermée telle que

(aêMy . . . , a'ê'M'7'a"gY)-

La même méthode appliquée à d'autres parallèles fournira autant de points qu'on le désirera; mais il en est plusieurs qui s'obtiennent par une construction directe et facile.

129. Le point (y, 7') situé sur l'équateur, se trouve en menant le diamètre O7 perpendiculaire à OS, et projetant y en 7'; car en ce point, le plan tangent qui sera vertical se trouvera bien parallèle au rayon lumineux , et c'est là le caractère distinctif de tous les points de la courbe de séparation d'ombre et de lumière.

De même, en menant à la méridienne ET' une tangente parallèle à la projection verticale O'S', le point de contact a', que l'on projettera en a, sera un point de la courbe cherchée; car en ce point, le plan tangent du quart de rond qui est perpendiculaire au plan vertical se trouvera bien parallèle aux rayons lumineux.

130. Le point le plus bas (S, S') de la séparation de lumière, c'est-à-dire celui où la tangente est horizontale, sera nécessairement situé dans le plan vertical OS, attendu que la construction du n° 128 ferait trouver, pour chaque parallèle, deux points placés sur une corde que ce plan diviserait en deux.

CHAPITaE II. — EXEMPLES DIVERS. . 5l

parties égales et à angle droit ; il suffira donc de mener à la méridienne contenue dans le plan vertical OS une tangente parallèle au rayon lumineux. Pour cela, rabattons cette méridienne sur le plan vertical OX; observons quen même temps un point (^,o'') du rayon lumineux se transporte en a'', de sorte que O'd" est le rabattement de cette droite : alors il faudra conduire à la méridienne E'F' une tangente parallèle à O'o-'', et le point de contact étant ramené dans le plan méridien OS, fournira le point (S, S') que Ton cherchait.

131. On doit remarquer que cette courbe a 'S' M 'y' rencontrera la courbe P^R'Q'N' en deux points dans lesquels le rayon lumineux sera tangent à cette dernière. En effet, pour le point n\ la tangente doit être Tintersection du plan de la courbe P'B'Q', qui est parallèle aux rayons lumineux, avec le plan tangent du quart de rond qui est aussi parallèle aux mêmes rayons , pour tout point de la courbe a'S'M'; donc Fintersection de ces deux plans sera bien parallèle à la même direction.

En outre, ce rayon lumineux n'n'" devra rencontrer la courbe N'd'en un point qui appartiendra à lombre portée par le quart de rond sur le filet; donc ce point»"" devra se trouver sur la courbe f'i'n'\.. dont nous parlerons plus loin.

132. Avant de continuer la recherche des autres lignes d'ombre, il est utile d'exposer une autre méthode qui serait moins exacte pour le tracé des courbes P'R'Q'N', N'6', 6'n\ X's', a'ê'M', déjà trouvées et que nous recommandons au lecteur de construire par les moyens précédents ; mais cette méthode nou<velle deviendra plus expéditive et suffisamment exacte pour les lignes d'ombre qui nous restent à trouver, attendu que ces courbes seront très-aplaties dans le sens vertical.

133. Méthode des sections. Si nous menons un plan vertical dh qui soit pa- Pi^* 8. rallèle au rayon de lumière, il coupera le larmier suivant la verticale d'd'' et le quart de rond suivant une courbe e'Ay, qui se construit en projetant sur le

plan vertical les points c, A, /, où la trace dh rencontre les divers parallèles de cette surface de révolution. Le même plan coupera le filet suivant la verticale /*/% et le cavet suivant une courbe f'g' qui se construira comme ci- dessus pour le quart de rond. Enfin, ce plan sécant coupera le gorgerin suivant la verticale h'h'\ et les diverses moulures de Tastragale suivant des lignes analogues.

134. Gela posé, voici le parti que Ion tirera d une pareille section. £n menant par le point d" une droite rf'V parallèle à O'S' , elle ira rencontrer la courbe e^k'f en un point r' qui appartiendra évidemment à lombre portée par le larmier sur le quart de rond , et devra ainsi faire partie de la courbe P'R^Q' déjà trouvée.

Sa LIVRE I. — THÉORIE DES OMBRES.

Si Ton mène a la courbe dk'f une tangente parallèle au rayon lumineux, et que Ion marque approximativement le point de contact d^ ce point fera partie de la séparation de lumière a'ê'M' sur le quart de rond; puis, en prolongeant cette tangente dhf jusqu'à ce qu elle rencontre la verticale /y', le point de section b' appartiendra à l'ombre portée par le quart de rond sur le filet, c est-àdire à la courbe yVfe' dont nous parlerons plus tard.

De même, en tirant le rayon lumineux /V, il ira couper la courbe /"gi' en un point d qui fera partie de la ligne d ombre ç)"|xV portée par le filet cylindrique sur le cavet ; et enfin le rayon lumineux ^hT ira couper la verticale HW en un point hT qui appartiendra à l'ombre portée par le cavet sur le gorgerin. Maintenant, revenons à la description des diverses lignes d'ombre, que nous avions interrompue.

155. Ombre du quart de rond sur le filet Cette courbe çVn" s'obtiendrait généralement en menant des rayons de lumière par les divers points de la ligne a'S'M'y', et en cherchant les points où les projections horizontales de ces rayons rencontreraient le cercle décrit avec OF; mais toous avons déjà trouvé le^ points n" et 6' de cette courbe (n®* 431 et 154) , et il suffira bien d'y ajouter les deux points e' et cp' dont nous allons indiquer la construction. Le premier, qui est le point le plus haut, se trouvera en menant le rayon lumineux qui part du point le plus bas (6, &) de la séparation de lumière sur le quart de rond; or, comme il va rencontrer en e le cercle OF, il n'y aura qu'à projeter ce point s sur &^. Pour avoir le point y', il faut tirer F^ parallèle à OS , projeter le point â sur la courbe o'S' M', et tirer par ce dernier point &' une parallèle &' ç'' à O'S', laquelle ira couper la verticale FT" au point demandé <f\

Cette courbe çVn". . . devra s'arrêter au point v' où elle coupera le cercle inférieur du filet ; mais comme on ne peut pas trouver directement ce point , on continuera les constructions précédentes comme si le cylindre du filet s'étendait indéfiniment au-dessous de Fhorizontale F% et la courbe fVn"... ainsi prolongée, ira couper te cercle inférieur-du filet au point t/ où elle doit se terminer comme ligne d'ombre.

156. Ombre du filet sur le cavet. Cette courbe ç"/ulV... étant l'intersection d'une surface de révolution décrite par le cercle F'G', avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui glissent sur le cercle inférieur du filet F' F*', s'obtiendra généralement en coupant ces deux surfaces par des plans horizontaux; car les sections ainsi produites dans le cavet seront des cercles de rayons variables dont les centres se trouveront sur la verticale (O, O'Z'), tandis que, dans le cylindre oblique , ces sections seront des cercles d'un rayon constant et