CHAPITRE n. — EXEMPLES DIVERS. Sy

du triangle générateur, tandis que ses côtés prolongés A'O' et K'O" vont toujours rencontrer Taxe vertical O avec lequel ils font des angles égaux et constants. Il résulte de là que les faces supérieure et inférieure du filet sont des portions de deux hélicoïdes gauches qui se coupent suivant une autre hélice intérieure {abd,..,a!'l/(t'a'"...)^ ainsi que nous lavons expliqué dans le chapitre V du livre VII de notre Géométrie descriptive; en supposant que tous ces détails sont présents à la mémoire du lecteur, nous nous bornerons à rappeler ici que le contour de la projection verticale du filet est formé par deux courbes qui ont pour asymptotes les génératrices O'A', 0"A', et qui se raccordent avec un très-pefit arc de l'hélice extérieure; mais on peut, sans aucune erreur appréciable dans la pratique, tracer ces portions de courbes comme des droites que',ron rend tangentes à la fois aux deux hélices A'B'D"... et (/'l/d'\.,. La tète de la vis est formée par un prisme droit, projeté suivant un octogone sur le plan horizontal qui peut être considéré comme la face supérieure de Técrou dans lequel s engage la vis en question.

150. Les rayons de lumière sont supposés parallèles à la direction (SO, S' E"), et ceux de ces rayons qui raseront Thélice extérieure, formeront un cylindre dont nous avons construit la trace horizontale

DXaKyc^Xaj Ê<pyc^a . . .

en cherchant les points où plusieurs de ces rayons, comme (Aa, AV), (D(?, D"c?'),..., vont rencontrer le plan horizontal. Cette courbe fournirait le contour des ombres portées par la vis sur le plan horizontal , si Ton avait dessein de trouver ces ombres ; mais en outre, elle va nous servir à d'autres usages.

151. La courbe (C'M'KTL', CMKIL) est Tombre portée par l'hélice extérieure sur la face supérieure du filet, et par conséquent cette courbe est Imtersection du cylindre lumineux dont nous avons parlé au numéro précédent, avec la surface gauche engendrée par la droite A!a!'0'. Pour trouver un point quelconque (M, M') de cette courbe, je construis d'abord une génératrice de cette surface gauche en menant le rayon arbitraire OB, projetant le point B en B' sur l'hélice extérieure, puis en portant sur Taxe, et à partir du niveau de B', une distance SC égale à la hauteur constante oCK, et tirant enfin la droite 0*'B'. Maintenant, par cette génératrice je conduis un plan parallèle aux rayons lumineux, en tirant la droite {0'"(ù\ Ow); et la trace «/3 de ce plan allant rencontrer la trace du cylindre au point f , j en conclus qu'il coupe ce cylindre suivant le rayon lumineux (çF, ç' F") , lequel s'appuiera ainsi sur l'hélice extérieure

au point (F, F'), et ira rencontrer la génératrice (BO, WO'") au point (M, M')

qui sera un point de la ligne d'ombre en question.

152. Le point (K, K') de cette courbe, situé dans le plan vertical SO, s'obtiendra directement par la rencontre du rayon lumineux et de la génératrice qui sont contenus Tun et lautre dans ce plan , et dont les projections verticales E''R' et EV se trouvent immédiatement en projetant le point E en E' et E% et le point een ef.

Le point extrême (C , C')seradouné par le rayon lumineux qui aboutit au point y où se coupent les deux branches de la trace horizontale du cylindre considéré au n** iSO ; car ce point commun y répond à une génératrice (yCG, yC'G') qui s appuie nécessairement à la fois sur les deux spires A'D" et A"D'^. De même, le point X où se coupent encore les branches de la trace du même cylindre, indique un rayon lumineux (HLX, H'L'X') qui sappuie aussi sur deux spires consécutives de Thélice extérieure , et qui fournit ainsi lautre extrémité (L, L') de la ligne d'ombre en question. Pl. 9. 153. Ces résultats devront être reproduits identiquement 9ur les divers filets de la vis, en transportant sur les mêmes verticales les points déjà obtenus , tels que G^ M', K', . . . ; toutefois , sur les filets voisins de la tête de la vis, apparaîtront de nouvelles lignes d'ombre qui pourront recouvrir les premières en totalité ou en partie. Ainsi, sur le filet A"'a"'^ il y aura une ombre {np, n'f/) portée par l'arête horizontale (PN, P'N'), et qui sera l'intersection du plan d'ombre passant par cette droite avec la surface gauche du filet. Pour construire cette courbe, on tracera, comme au n° 151, une génératrice de la surface gauche, et par cette droite on conduira un plan parallèle au rayon lumineux; il sera bien facile de trouver le point de rencontre de ce plan avec rhorizontale (PN, P'N'), et en menant par ce point un rayon lumineux, il ira rencontrer la génératrice considérée en un point qui appartiendra à la courbe (pn, p'n'). On trouvera semblablement l'ombre {pq, p'x/cf) qui est portée par la droite (PQ, P'Q'), et aussi l'ombre [qw, q'v/) portée par la droite (QR, Q'R'). Les limites de ces diverses courbes ne peuvent s'obtenir qu'en prolongeant chacune d'elles indéfiniment, jusqu'à ce qu'elle coupe la courbe voisine; mais l'on saura trouver directement le point (tu, w' ), en cherchant la rencontre du plan conduit par la droite (QR, Q'R') parallèlement au rayon lumineux, avec la trace du cylindre DXaKy...; pour effectuer cette recherche, il sera bon d'employer un plan horizontal plus rapproché de la tête de la vis, tel que celui qui serait mené par le point (f.

154. Ce dernier rayon lumineux (Bw, R'u;') qui ne fait que raser l'hélice