CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

extérieure, continuera sa route pour venir tomber sur le filet situé au-dessous, et il le rencontrera nécessairement au point (r, r') où il coupera la courbe déjà tracée ( r'M'^C^ IMC) ; le reste (RT, R'T') de 1 arête horizontale donnera lieu à un plan d'ombre qui coupera la surface gauche suivant une courbe (r«, r't'), laquelle se construira comme au n? 153. Enfin, laréte horizontale (TU, T'U') produira une ligne d'ombre (tu^t'u') qui se construira d'une manière semblable. Il n'est pas besoin de faire remarquer au lecteur que ces deux dernières courbes descendant plus bas que la ligne T' M'' C, elles feront disparaître une portion de cette dernière ligne d'ombre.

155. Nous n'avons rencontré ici que des ombres portées , et point de séparation d'ombre et de lumière proprement dite, formée par des rayons lumineux tangents à la surface gauche du filet, parce que la direction (SE, SŒ') faisait avec Taxe de la vis un angle trop petit pour que cette dernière circonstance pût avoir lieu [voyez n® 177) ; mais comme ce cas présenterait des recherches délicates et assez difficiles, nous croyons utile de reprendre le problème des ombres de la vis, avec une direction des rayons de lumière qui donne lieu à l'existence de ces lignes de contact.

Autre cas des ombres d'une Fis triangulaire.

156. Sans rappeler tous les détails donnés aux n^ 149 et 150, nous dirons Pl. io. seulement que le parallélipipède à base carrée qui forme la tête de la vis, a été

placé ici en-dessous, afin de laisser voir un plus grand nombre des lignes importantes; la face supérieure de ce parallélipipède a été prise pour le plan horizontal de notre épure, et iious y ayons construit la trace

ARylâfinapy^âil^i^t • • •

du cylindre formé par les rayons de lumière qui s'appuieraient sur l'hélice extérieure (ABD..., A'B'D'A"D"...). Ensuite, pour obtenir la séparation de lumière (MN, M'N') sur la face supérieure du filet qui est engendrée par le mouvement de la droite (AO, AVO'), il s'agit de trouver les points de cette surface gauche pour lesquels les plans tangents seront parallèles au rayon lumineux (SO, S'O"'); et je vais chercher, par exemple, le point (a:, x') de cette courbe qui serait situé sur une génératrice quelconque projetée suivant OB. La projection verticale B'C de cette génératrice s'obtiendra en projetant le point B en B', et en prenant la hauteur A'^CT égale à la distance constante A'O; puis si je mène la tangente BT égale à l'arc BA rectifié, et que je joigne le point T

6o LIVRE I. — THÉORIE DES OMBRES.

avec la trace (G, G') de la génératrice, on sait (G. D., n^ 621) que la droite GT sera la trace horizontale du plan tangent à Thélicoïde gauche pour le point

157. Maintenant, par cette génératrice (OB, O'^'B') conduisons un plan parallèle aux rayons lumineux, lequel aura évidemment pour trace «G; ce plan devra être, comme on sait, tangent à Thélicoïde dans un certain point inconnu .r; mais pour trouver ce point, il suffira (G. D., n° 627) de prolonger wGE jusqu'à ce qu elle rencontre en E la tangente BT, puis de tracer Ee parallèle à OB, et par le point e où elle rencontre la ligne TO, on mènera ex parallèle à BE. Par ce moyen très-simple, on obtiendra donc un point x de la projection horizontale cherchée MjcN; et en projetant x en x' sur B'C^, on aura un point de la projection verticale MVN'; d ailleurs, comme ce procédé peut s'appliquer à toute autre génératrice, il suffit à lui seul pour construire autant de points qu'on le voudra de la séparation de lumière. Mais, attendu que cette portion de courbe est extrêmement aplatie, il serait très-avantageux de savoir déterminer directement les extrémités M et N situées sur les hélices extérieure et intérieure , parce que ces deux seuls points suffiraient ordinairement, dans la pratique, pour tracer d'une manière assez exacte la partie utile de cette ligne de contact ; aussi nous allons nous occuper de la Recherche de ces points extrêmes M et N.

Pl. io. 1S8. Observons d'abord que, pour tous les points de l'hélice (ABD, A'B'D'), les divers plans tangents de l'hélicoïde sont tous également inclinés sur l'axe de la vis; car la génératrice de cette surface et la tangente de l'hélice font entre elles et avec la verticale menée par le point de contact, trois angles qui restent évidemment constants pour les divers points de l'hélice considérée. D'où il suit que ces divers plans tangents sont tous parallèles à ceux qui toucheraient le cône de révolution dont le sommet serait en (O, O'") , et qui aurait pour base le cercle décrit avec la perpendiculaire OH abaissée sur la trace GHT du premier plan tangent que nous avons construit pour le point (B, B'). En outre, on doit voir que l'angle GOH compris entre la projection OB de la génératrice que contient ce plan et la projection OH de sa ligne de plus' grande pente , restera aussi invariable, tant que le point de contact (B, B') du plan tangent ne sortira pas de la même hélice ( ABD, A'B'D').

159. Gela posé, comme la détermination du point M revient à trouver un plan qui soit parallèle au rayon lumineux , et qui touche l'hélicoïde sur Thélice (ABD, A'B'D'), menons au cône défini ci-dessus et qui a pour base le cercle du rayon OH, un plan tangent parallèle au rayon lumineux ; il devra passer par la