CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS. 6l

droite (O^w', Ow), et sa trace sera la tangente wF (*), tandisquesaligne déplus grande pente se trouvera projetée suivant OF. Or, quoique ce plan wFO soit simplement parallèle au plan tangent de ihélicdide qui répond au point limite M que nous cherchons, cela ne change rien à la projection horizontale de la ligne de plus grande pente, qui sera encore OF pour le plan tangent cherché; puis, afin de retrouver la génératrice inconnue que doit renfermer ce dernier plan , je rappelle que 1 angle GOH demeure constant pour tous les points de Thélice (ABD, A'B'D'); et dès lors en prenant lare KM égal à IB, le point M que Ion projettera en M', jouira certainement de la propriété que le plan tangent de Thélicoïde en cet endroit se trouvera parallèle au rayon lumineux. Ce sera donc là une des extrémités de la séparation de lumière sur la face supérieure du filet; et l'autre extrémité (N, N') s ohtiendra en opérant d une manière semblable sur le plan tangent qui touche Thélicoïde au point 6 de l'hélice intérieure [dab, d'a'd").

160. Par le rayon lumineux (Ocj, 0"'tù') on pouvait conduire un second plan tangent au cône de révolution qui a pour base le cercle du rayon OH, et la ligne de plus grande pente de ce nouveau plan tangent eût été projetée sur O/*; par conséquent si, à partir de cette droite, on forme up angle égal à GOH, ou bien si Ion prend lare km égal à IB, on obtiendra lextrèmité m d une autre ligne de séparation de lumière (mn, m"n") située encore sur la face supérieure du filet de la vis. D'ailleurs, comme toutes les spires de oe filet sont identiqujes et que les rayons lumineux sont toujours parallèles à une même direction , il n'y aura qu'à transporter sur les mêmes verticales les points déjà trouvés, pour obtenir les séparations de lumière analogues M"N", M'^N'", m^'n*,... qui existent sur les autres spires.

161. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que la face supérieure des filets, laquelle est décrite par la droite A'Œ; mais la face inférieure de ces mêmes filets qui est engendrée par le mouvement de la droite A'^O'^, est aussi un hélicoïde gauche évidemment identique, quant à la forme, avec la seconde nappe du premier hélicoïde, laquelle serait engendrée par le prolongement O'A, de la génératrice O'A'. Toutefois, ces deux nappes décrites par A^'O" et O'A^. n'ap-

(*) Nous n'avons point marqué ici cette tangente wF, pour éviter de la confusion, et parce que son point de contact F s'obtient directement par la rencontre du cercle décrit sur 0« comme diamètre ; ce qui suffit pour tracer la droite OF sur laquelle se projette Farête de con* tact du cône avec ce plan tangent, ^réte qui est évidemment la ligne de plus grande pente de ce plan.

partiendront pas à ud seul et même hélicoïde, si ce n'est dans le cas très-particulier où la droite A"0", après i ou 3 ou 5,... demi-révolutions, viendrait coïncider avec O'A^ ; mais du moins les deux hélicoïdes décrits par ces droites ne différeront que par leur hauteur au-dessus du plan horizontal, et ils se confondraient Tun avec lautre dans toutes leurs nappes, si Ion faisait descendre lun d'entre eux de la quantité constante A^D""' ou AjD", en laissant d'ailleurs chaque point de la surface mobile sur la même verticale où ce point se trouvait d abord. De là on doit conclure que les lignes de séparation d ombre et de lumière sur ces deux hélicoïdes, auront les mêmes projections horizontales PQ etpq; et que pour trouver celles-ci, nous pourrons continuer d opérer sur le premier hélicoïde décrit par la droite indéfinie A^O'A, , mais en considérant actuellement la nappe supérieure de cette surface. Pl. I g. iQ^» Tout ce que nous avons dit au n^ 158 sur lès plans tangents de la nappe inférieure de rhélicoïde , pour des points de contact tels que (B, B') toujours situés sur rhélice (ABD, A'B'D') , s applique également aux plans tangents de la nappe supérieure, pourvu que Fou choisisse encore leurs points de contact sur la même hélice , comme le point projeté en B, et qui appartient au prolongement de la génératrice (BO, B'O'*). Ainsi ces nouveaux plans tangents seront encore parallèles à ceux qui touchent le cône de révolution qui a son sommet en (O , O'*) et pour base le cercle du rayon OH; et Tangle analogue à GOH sera aussi constant pour chacun d eux , et égal à ce qn il était pour le point (B, B'); seulement, pour le plan tangent relatif au point B,, la ligne de plus grande pente au lien d être, comme OH, en deçà de 0B6, se trouverait au delà, ainsi qu on doit lapercevoir aisément d après la position qu aurait le pied de la tangente à Thélice pour le point B^. Par conséquent, après avoir mené au cône OH les deux plans tangents qui ont été conduits par le rayon lumineux (Oco, O'^tù')^ et avoir déterminé leurs lignes de plus grande pente OF et Of, il faudrait porter Tare BI en sens contraire de KM et de km, puis prolonger les rayons au delà du centre O pour obtenir les points limites P et p; mais cela se réduit évidemment à prendre lare K^p égal à KM, ^t l'arc /tjP égal à Am; ou enfin, à tracer les branches PQ et pq comme symétriques de MN et mn par rapport au diamètre OC qui est perpendiculaire sur OS.

165. Cela fait, on projettera les points P et p en P' et p\ F' et /;",.•• sur l'hélice extérieure; puis, sur l'hélice intérieure, les points Q et 9 devront être projetés en Q' et 9', Q'' et 9",.... Avec ces points limites, un praticien habile pourra déjà tracer d'une manière exacte les courbes P'Q', p'q', P"Q">... qui n'ont qu'une faible courbure dans la portion utile; au surplus, nous allons donner