CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

une méthode complète pour trouver ces courbes dans toute leur étendue sur la surface gauche indéfiniment prolongée.

164. Pour atteindre ce but, on pourrait d abord prescrire de considérer successivement les diverses hélices situées sur Thélicoïde, et qui ont des rayons plus petits et plus grands que OB; puis, de leur appliquer les procédés des n^ 159 et 162, ce qui ferait connaître tous les points de la surface où le plan tangent est parallèle aux rayons lumineux. Mais cette marche serait assez la* borieuse, et il sera bien plus simple de trouver ces points en les cherchant sur chaque génératrice de Thélicoïde, par la méthode du n° 157 qui apprend à trouver quel est le point de contact (xj x') d*un plan mené par une génératrice quelconque (OB, O'^'B'), parallèlement aux rayons de lumière.

Il faudra donc construire (n^ 156) diverses positions de la droite mobile indéfinie (ÂO, A^O^A,); par chacune de ces positions on conduira un plan parallèle au rayon lumineux, et Ion déterminera (n^ 157) le point de cette génératrice où ce plan est tangent à la surface, point qui pourra se tix)uver tantôt sur la nappe inférieure, tantôt sur la nappe supérieure; et la suite de tous ces points fournira les deux courbes indéfinies

(MNOQP, M'NVQa?,), {mnOqp, wTr^'^ . . . ),

comme lignes de séparation d ombre et de lumière sur les deux nappes de la première spire de rhélicoïde engendré par le mouvement de la droite (AO, A'O'Aj). Les spires suivantes décrites par la a*, la 3*,... révolution de cette droite, offriront des séparations d'ombre identiques, lesquelles seront encore projetées horizontalement sur MNOQP et mnOqp; mais les projections verticales de ces séparations de lumière, dont nous n'avons marqué ici que les portions utiles pour les fileta de la vis, savoir, M"N", m^n"^ M^ N**,..., se trouveront plus élevées que M'NV et m'^n":^\ de i, a, 3,... fois le pas A'A'' de l'hélice.

165. Les points (O, z'), (0,z"),... où ces courbes vont couper Taxe de la vis, seront donnés par la rencontre de cet axe vertical avec les génératrices qui seront situées dans le plan méridien SO; car, dans ces points de rencontre, le plan tangent de Thélicoïde qui devra passer par la génératrice et par Taxe, se trouvera bien parallèle aux rayons lumineux, puisqu'il coïncidera avec le plan vertical SO lui-même. Ainsi le premier 2f de ces points s'obtiendra en construisant la première génératrice qui est projetée suivant Os; l'autre z*' en construisant celle qui est projetée suivant OS, et ainsi de suite, de manière que tous ces points z',z",2'',.- seront distants les uns des antresd'une quantité égaleàla moitié du pas A'A" de l'hélice directrice.

166. Toutefois, il faut observer que la branche supérieure z'QaP^ n'appartient pas précisément aux faces inférieures des filets de notre vis, et qu'il faudrait abaisser tous ses points d une quantité constante AjD" ou A^D' pour retrouver les courbes P"Q" et P'Q' qui sont les vraies séparations de lumière sur ces faces du filet. Cela tieqt à la distinction que nous avons établie au n^ 161 entre les deux hélicoïdes de même forme que décrivent les droites O'Aj et A"0".

Pl. 1 o. 167. Des ombres portées. Les rayons lumineux qui touchent la face inférieure du filet le long de la courbe de contact (PQ, P'Q'), iront tomber sur la face supérieure du filet situé au-dessous, et y traceront une ombre portée (QY, Q'Y') qui se terminera au point (Y, Y') où elle coupera l'autre séparation de lumière (MN, M'N'); car le rayon lumineux, parvenu dans la position (VY, VY'), se trouve tangent à la fois aux deux faces du filet, et va tomber sur le plan horizontal qu'il rencontre au point (9, y'). Pour construire la courbe (QY, Q'Y'), on construira d'abord les traces horizontales pf^ et X9 des deux cylindres formés par les rayons lumineux qui glissent sur les courbes (PQ, P'Q') et ( MN , M 'N' ) , traces qui ont les points p et X communs avec la trace ARyâa^^,., du cylindre dont nous avons parlé au n^ 156. Cela posé, le point 9 où se couperont les deux traces ptpij; et Xç fournira évidemment le rayon lumineux (çYV, ç'Y'V) qui est tangent à la fois aux deux faces du filet, et qui fait connaître le point (Y, Y') où doit aboutir l'ombre portée que nous cherchons. Ensuite, après avoir construit une génératrice de l'hélicoïde A'a' qui parte d'un point intermédiaire en Q' et N', on mènera par cette droite un plan parallèle aux rayons lumineux, et on cherchera le point où sa trace horizontale rencontre la courbe p(f\^ ; alors le rayon lumineux mené par ce point de rencontre ira couper la génératrice considérée en un point qui appartiendra à la courbe (QY, Q'Y'). Nous nous contentons ici d'indiquer ces opérations très-simples; et le résultat Q'Y' devra être transporté identiquement ^ur les autres spires en Q'Y\ Q'"Y",....

Semblablement, de l'autre côté de la vis, il existera une ombre (g^, q'j"'') .portée sur le filet par la courbe (pq,p''q'')y et cette ombre se déterminera comme ci-dessus au moyen des traces 7^2^% ^ /^^s ^^^ cylindres formés par les rayons lumineux qui glissent sur les deux courbes {pq^p "q ")^^{ T^nn , m'^n** ) ; puis il faudra transporter aussi la ligne d'ombre q'y* identiquement sur les autres spires du filet, suivant qy\q'"j''","*i mais les extrémités supérieure et inférieure de la vis, où les filets se trouvent tronqués, exigeront quelques modifiacations dont nous allons parler.