CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

168. Dans la partie supérieure, la vis est terminée par le plan horizontal A!'"d"'\ au-dessus duquel nous avons laissé subsister une petite portion du noyau cylindrique, afin de faciliter rengagement de la vis dans son écrou. Or, ce plan horizontal A!'"d"" a dû couper les faces inférieure et supérieure du filet suivant deux courbes AL^ et Aid qui sont deux spirales d'Archimède (G. D., n^620), et que nous avons construites de la manière suivante: après avoir mené des rayons qui divisaient la demi-circonférence APD en huit parties égales , nous avons diminué ces rayons successivement de |-, f , f ,... de l'intervalle Aa, et par tous les points ainsi déterminés nous avons fait passer la courbe ALci; pour l'autre spirale Ald^ on a opéré sem* blablement.

169. Cela posé, sur la nappe k""a'"d"" la séparation de lumière est réduite à la portion de courbe (Q^'L^QL), et par suite Tombre portée Q*Y" est réduite à la portion (Q'^Z', QZ) dont le dernier point est fourni par le rayon lumineux (L''Z', LZ); car, à partir de cette dernière position, les rayons lumineux vont glisser le long de la spirale (LU, L"U'), et ils iront percer le filet qui est au-dessous suivant une courbe nouvelle (Z'W, ZW) qui devra se terminer au point (W, W) où elle coupera la séparation de lumière (M^N",MN) déjà tracée.

Pour construire cette ombre (Z'W, ZW), il faudra d abord chercher la trace horizontale du cylindre lumineux qui aurait pour directrice la spirale (Lrf, L"rf""); ensuite, par une génératrice quelconque de la surface gauche du filet, on conduira un plan parallèle au rayon de lumière, et par le point où la trace de ce plan rencontrera la trace du cylindre précédent, on tirera un rayon lumineux qui ira couper la génératrice considérée en un point de la courbe que Ion cherche.

170. De l'autre côté de la vis , le dernier filet présentera une séparation de lumière qui sera réduite ici à la portion (m/, m""l'')\ et il n'y aura pas ici d ombre portée sur ce filet. Mais le noyau cylindrique qui fait saillie, projettera sur le plan des deux spirales une ombre qui se composera évidemment de deux droites tangentes au cercle du rayon Oa , et d'une demi*circonféren'ce égale à ce même cercle ; seulement une faible partie de cette demi-circonférence subsistera ici, attendu que le plan horizontal h!"'d'"' n est pas prolongé au delà des deux spirales.

171. Dans la partie inférieure de la vis, le plan horizontal A'J' coupe aussi le filet suivant les deux spirales ALcf et kld^ et les séparations de lumière sur le premier tour du filet sont réduites aux portions (PL, P'^L') et (n/, riV). Encore,

cette dernière courbe se trouve réduite à la partie (ly, /'y'), à cause de Tombre [qyy cfy') portée par la courbe (p^, p'cf). Pl. io. 172. Ombres portées sur le plan liorizontaL Comme la construction de ces ombres se réduit à trouver les traces borizontales de divers cylindres parallèles aux rayons lumineux et dont les directrices sont des courbes connues par leurs deux projections, nous nous contenterons d'énumérer ces ombres , en indiquant les courbes d*où elles proviennent.

D'abord la courbe ((^, l'y) projettera sur le plan horizontal une ombre bo terminée au rayon lumineux (vp9> t/j'yj'); puis, à partir de cette position, ce rayon glissera sur la courbe (v/?, x/p^) et produira Tombre r}n dont le dernier point n se trouvera évidemment sur la courbe

qui est la trace du cylindre lumineux ayant pour directrice Thélice extérieure de la vis, trace que nous avons recommandé (n^ 1S6) de construire d'abord.

175. Parvenu dans la position (/wr,//n'), le rayon lumineux va glisser sur Tare d'hélice (pm, p'm") et produira l'ombre n/x; puis, à partir de cette situation (m/x, m"jx'), il montera le long de la courbe (mn^ m^'n") et produira l'ombre jmyja terminée au rayon lumineux {yyr^^ , 'kfyrf') ; car dans cette dernière position, il aura atteint la courbe {pq^ p"^) &ur laquelle il glissera depuis le point (v, v") jusqu'en (p,p"), ce qui donnera lieu à la courbe d'ombre vi^Tt^. Après cela, le rayon lumineux glissera sur l'arc d'hélice (pm,p"m'"), ce qui produira l'ombre TTajuia ; et ainsi de suite pour les autres spires.

174. Dans la partie antérieure de la vis, on trouvera des circonstances analogues, mais un peu moins distinctes, à cause de la petitesse de certains arcs; c'est pourquoi nous avons commencé l'explication par l'autre partie. Ainsi, la séparation de lumière (PL, F*'!/) produira l'ombre LR; ensuite le rayon lumineux glissera sur l'arc d'hélice (PM, P^M') et produira l'ombre R7X; puis, en glissant sur l'arc (MY, M'Y'), il donnera lieu à l'ombre Xf terminée au rayon lumineux (VY(p, V'Y'(p'). Mais dans cette dernière position, ce rayon aura atteint la courbe (PQ, P'Q') sur laquelle il glissera suivant le petit arc (VP, VP'), et produira l'ombre çp; puis, à partir de la position (Pp, Vp')j il glissera sur l'arc d'hélice (PM, P'M"), en produisant Tombrc pyaXa; et ensuite on retrouvera successivement des courbes identiques avec les précédentes.

Pl. 10. 473. Discussion. Dans l'épure actuelle, la séparation d'ombre et de lumière