CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

sur rhélicoïde gauche est composée de deux branches séparées

(MNOQP, M'N'2'Q,Pa) et {mnOqp, m"n"2:\ . .),

dont chacune se prolonge indéfiniment sur les deux nappes de cet hélicoïde; et il en sera ainsi toutes les fois que langle w formé par le rayon lumineux (SOci), S'Cw') avec l'horizon , sera plus petit que l'angle a formé par la génératrice (AO, A'O') avec le même plan. Mais si l'angle o était plus grand que a , les deux branches ONM et Onm iraient en se rapprochant de la droite Ow, et finiraient par se réunir en un point situé à une petite distance au delà de cette droite; il en serait de même des deux autres branches supérieures OQP et Oqp^ de sorte que la séparation d'ombre et de lumière deviendrait alors une courbe fermée. Pour justifier ces assertions, rappelons d'abord quelques principes qui sont évidents par eux-mêmes ou par les détails précédents :

I**. La pente d'un plan quelconque, c'est-à-dire l'angle qu'il fait avec l'horizon, est toujours plus grande que la pente de toute droite contenue dans ce plan; et cette dernière devient au plus égale à l'autre, quand la droite considérée est perpendiculaire à la trace horizontale du plan en question.

n^. Lorsque le point de contact d'un plan tangent à l'hélicoïde gauche se meut sur une même génératrice de cette surface, en s*éloignant de l'axe vertical, la pente du plan tangent diminue depuis 90® jusqu'à ce qu'elle devienne égale à la pente a de cette génératrice, limite qii'elle n'atteindrait que si le point de contact était à l'infini. Cela deviendra évident si l'on se rappelle la manière dont nous avons construit (n** 156) le plan tangent pour le point quelconque (B, B') de la génératrice (OBG, O'B'G') ; car il en résulte que l'angle BGT est nécessairement aigu.

3**. Au contraire, lorsque le point de contact du plan tangent se meut en restant sur la même hélice, la pente de ce plan (n® 158) demeure constante.

176. Cela posé, lorsque Tangle w sera plus grand que a, il y aura sur l'hélicoïde une certaine hélice (facile à déterminer et que j'appelle H) pour tous les points de laquelle les plans tangents auront une pente égale à « (*). Or si ,

(*) Pour trouver celte hélice H, après avoir tracé le rayon lumineux {0'"w', Ow), il faudra décrire avec un rayon égal à O», une circonférence qui sera la base d'un cône ayant son sommet en (O, 0*') et dont les arêtes auront la pente w; puis, conduire à ce cône un plan tangent passant par la génératrice (OBG, O'^B'G'), ce qui se réduit à mener au cercle précédent une tangente partant du point G. Alors ce plan qui aura bien une pente égale à «, devra être tangent àThélicoîde dans un certain point de la génératrice (OBG, O^'B'G'); donc, en cher-

. pour trouver celui de ces plans qui est parallèle au rayon lumineux, on applique * à rhélice H la méthode employée au n^ 159 pour Thélice du rayon OB, on doit apercevoir immédiatement et sans effectuer les constiiictions , que les deux tangentes (ôF et,0f \ont se réduire à une seule droite, attendu que le cône auxiliaire ayant actuellement une pente égale à celle du rayon lumineux (0(k>, O^'cù'), sa base qui était le cercle du rayon OH , deviendra une circonférence passant par le point ck) lui-même. D'où il suit que, sur Thélice H, les deux points analogues à M et m se réduiront à un seul; et il en sera de même des points analogues à P et p.

Quant aux hélices d'un rayon plus grand que H, elles ne contiendront plus de points appartenant à la séparation d ombre, parce qu alors la base du cône auxiliaire embrassera le pied o du rayon lumineux mené par le sommet; conséquence qui s accorde avec la remarque faite plus haut (n^ 175, i^), puisque les plans tangents relatifs aax points de ces hélices auront tous une pente moindre que G), et ne sauraient dès lors renfermer aucun des rayons lumineux qui ont une inclinaison égale à o).

177. D'après ces détails, on comprend que, sur la vis de la PL IX, il devait y avoir aussi une courbe fermée, représentant la séparation d'ombre et de lumière sous le rapport géométrique , c est-à-dire comme ligne de contact de l'hélicoïde avçc des droites parallèles aux rayons lumineux; mais cette courbe n ayant aucune existence physique , attendu qu'elle se trouvait alors recouverte par les ombres portées, nous n'avons pas pris la peine de la tracer dans cette épure.

Ombres d'une Vis à filet carré.

Pl. II. 178. Le noyau de cette vis est encore formé par un cylindre vertical projeté sur le cercle abdey mais le filet saillant est engendré par le mouvement d'un carré (A"A'"aV', Aa) dont les deux bases vont rencontrer toujours l'axe de la vis sous un angle droit, tandis que l'un des sommets (A, A"^) demeure constamment sur une hélice (ABDE, A'D'A*'D'\ . .) dont le pas A' A"' est ordi-

chant ce point de contact par le procédé fort simple du n® 157, « on obtiendra un point de l'hélice limite €^\e nous avons désigné par H, ce qui suffit pour déterminer complètement cette courbe.

On trouvera un exemple de cette détermination au n^ 180, mais pour un hélicoide particulier. ..