CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

nairement double du côté A'^A"". Il résulte de là que les faces supérieure et inférieure du filet sont deux hélicoïdes gauches à plan directeur (G. D., v? 628); mais le filet offre en outre une face latérale décrite par le côté A'^A"^, et corn* posée de zones cylindriques, projetées toutes sur le cercle ABDE.

179. Sur cette face latérale, les lignes de séparation d ombre et de lumière s'obtiennent immédiatement, puisque ce sont les portions successives des deux arêtes verticales B et E sufvant lesquelles le cylindre est touché par les plans tangents qui sont parallèles au rayon de lumière (SO, S'C). De même, sur le noyau cylindrique abde^ les deux verticales b et e fourniront les séparations d'ombre et de lumière b^b'\ e'e^,. . . ; mais une partie de ces dernières lignes sera recouverte par les ombres portées dont nous parlerons bientôt.

180. Sur la face gauche du filet, il n'y aura pas ici de séparation de lu* mière, qnoique la méthode du n^ 157 et celle du n^ 159 demeurent applicables, et même avec plus de simplicité, à Thélicoïde actuel dont la génératrice A'^a'" forme avec Taxe un angle constamment droit ; mais ces méthodes conduiraient à trouver pour ligne de contact des plans tangents parallèles au rayon lumineux, une courbe fermée qui serait entièrement comprise dans l'intérieur du noyau cylindrique abde.

Pour justifier cette assertion', il suffit de chercher l'hélice limite que nous avons désignée par H au n^ 176. A cet effet, menons le rayon lumineux (Cr, 01 ), et décrivons le cercle IK qui sera la base d'un cône de révolution ayant son sommet au point (C^, O) et dont les génératrices auront la même pente (0 que le rayon lumineux. Si alors nous menons à ce cône un plan tangent passant par la génératrice (CO, G') de Thélicoïde, ce plan, qui aura évidemment pour trace la droite Kd parallèle à CO, aura aussi une pente ^ale à G), et se trouvera tangent à Thélicoïde dans un certain point y de la génératrice (CO, G). Or ce point inconnu 7 doit être sur une hélice dont la soutangente soit égale à OK ; donc , si nous menons la tangente CT égale à l'arc de cercle CA, et qu'après avoir tiré OT qui rencontre K9 au point ô, nous abaissions la perpendiculaire Oy, nous obtiendrons le point de contact demandé 7; car il est bien évident, par suite des triangles semblables, que l'arc de cercle ay sera égal à 6y. Il résulte de là que l'hélice projetée sur aycï. • . est telle que pour tous ses points, les plans tangents de Thélicoïde ont une pente égale à w, et qu ainsi (n** 176) la séparation d'ombre et de lumière ne peut s'étendre au delà de cette hélice aycJ; or, puisqu'ici cette hélice est en dedans du noyau de la vis, il n'y a donc pas de séparation d'ombre et de lumière sur le filet saillant.

Pl. II. 181. Ombres portées. La courbe l'g'p'f ^^^ Tombre portée sur le noyau cylindrique abde par l'hélice inférieure (DAB, Do A^D"), et c'est llntersection dun cylindre vertical avec un cylindre oblique; on lobtiendra donc aisément en tirant, par un point quelconque (G, G') pris sur cette hélice, un rayon lumineux dont la projection horizontale Gg ira rencontrer la base du cylindre droit en un point gr, lequel devra être rapporté en g' sur la projection verticale du rayon lumineux en question. Le point p' de cette courbe s'obtiendra en menant le rayon particulier aP, et les points extrêmes /' et/' se trouveront en employant les rayons 6L et eF qui sont tangents au noyau.

182. Le rayon lumineux (L6, L'/') qui est devenu tangent au noyau, ira tomber sur la face gauche du filet en un point (M, M') qui sera déterminé par la rencontre de L'/' avec la courbe b'M'& que nous allons apprendre à construire. Cette courbe est l'ombre portée sur la face gauche du filet par le plan qui touche le noyau le long de la verticale (6, b^b")\ ainsi on l'obtiendra en construisant diverses génératrices de l'hélicoïde , et en cherchant les points où leurs projections horizontales sont coupées par la trace bî du plan tangent dont nous venons de parler. Mais cette courbe b'^'& devra se terminer, comme ligne d'ombre, au point M' où elle sera rencontrée par la droite L7' M', attendu qu'à partir de cette dernière position , les rayons lumineux qui glissent sur l'hélice extérieure (L'R'D", LRD) , iront tomber sur la face gauche du filet et y traceront ime nouvelle ombre (MN, M'N') qui se construira de la manière suivante.

183. On devra d'abord déterminer la trace horizontale du cylindre formé par les rayons de lumière qui glissent sur l'hélice (A"L'D", ALD), courbe que nous avons déjà figurée plusieurs fois dans les vis précédentes; ensuite, par une génératrice quelconque de rhélicoïde, on conduira un plan parallèle aux rayon$ de lumière , dont la trace horizontale ira couper la trace du cylindre précédent en un certain point; et si par ce point on mène un rayon lumineux, il ira rencontrer la génératrice de Thélicoïde en un point qui fera partie de la courbe cherchée (MN, M'N'). Nous ne faisons qu'indiquer ces opérations très-faciles à effectuer, parce que la courbe dont il s'agit est extrêmement aplatie, et que le dernier point (N, N') s'obtiendra directement en cherchant l'intersection des traces horizontales des deux cylindres lumineux qui auraient pour directrices les deux hélices inférieure et supérieure A^R'D" et A'B'D'.

Pl. II. 184. Tous les résultats précédents devront être reproduits identiquement sur les diverses spires du fiilet ; en outre , en arrière du plan vertical AD, il y aurait une courbe d*ombre partant du point f , et portée sur le plan horizontal