CHAPITRE III. — POINTS BRILLANTS ET DÉGRADATIONS DE TEINTES

Ici les rayons incidents seront tous parallèles à une certaine direction ^ et les rayons réfléchis parallèles à une autre; et d après ce que nous avons dit aux numéros précédents, c*estle cas d'un corps éclairé directement par le soseil, et vu en projection. Alors, si par un point quelconque R on mène une '^^' '^' droite RS parallèle à la direction assignée pour les rayons lumineux, et une autre droite RO parallèle à la direction des rayons réfléchis, c'est-à-dire perpendiculaire au plan de projection adopté, la bissectrice RN de Tangle ORS indiquera évidemment la direction que doit avoir la normale de la surface à lendroit du point brillant cherché ; de sorte que le problème primitif se trouvera réduit à celui-ci :

206. Trouver, sur une surface donnée, un point pour lequel la normale soit parallèle à une droite donnée RN. Lorsque la surface aura une forme quelconque, la méthode générale consistera à mener arbitrairement deux droites RT et RT' perpendiculaires à RN, puis à chercher (G. D., n^ 577) les courbes de contact de deux cylindres circonscrits à la surface donnée , et parallèles lun à RT, l'autre à RT; car le point d'intersection de ces deux courbes sera tel que le plan tangent se trouvera évidemment parallèle à TRT', et couséquemment la normale sera bien parallèle à RN.

207. Quand la surface donnée sera de révolution , toute normale sera située dans un plan méridien; et dès lors si l'on conduit par l'axe un plan parallèle à RN, ce plan coupera la surface suivant la méridienne qui doit contenir le point cherché; de sorte qu'il suffira de mener à cette méridienne une normale qui soit parallèle à RN, construction facile à effectuer après avoir rabattu cette courbe sur un des plans de projection.

208. Observons ici que toutes les fois qu'on appliquera à une surface cylindrique , conique et en général développable, l'hypothèse du parallélisme entre les rayons incidents, d'une part, et entre les rayons réfléchis, de l'autre, cette surface présentera non-seulement un point brillant, mais une ligne brillhnte, £n effet, pour tous les points de la génératrice rectiligne qui passera par le point A déterminé conune ci-dessus, le plan tangent sera commun (G. D., n** 177), et dès lors les diverses normales étant parallèles, elles jouiront toutes de la propriété suffisante et nécessaire qui a été énoncée au n° 206.

Dans les autres hypothèses, il ne saurait y avoir qu'un ou plusieurs points brillants en nombre fini, puisque ces points seraient fournis (n^ 190) par le contact du corps proposé avec un ellipsoïde de révolution, lequel dégénère évidemment en un paraboloïde de révolution quand le point lumineux ou le point de vue est à l'infini.

8o LIVRE I. — THÉORIE DES OMBRES.

Exemple du point brillant sur une sphère.

PL. 2. 209. Conservons les données et les résultats antérieurs de la PL II, où la sphère avait pour centre le point (O, Q'), et était éclairée par des rayons lumineux parallèles à la direction (OS, O'S'); d'ailleurs on devra se rappeler que nous y avons aussi exécuté une projection auxiliaire sur un plan vertical X''Y" parallèle au rayon lumineux, et que ce rayon s'y est projeté suivant 0"S''. Gela posé, si nous nous occupons d abord de la projection horizontale , tous les rayons réfléchis seront alors verticaux (n? 204) ; et la normale du point brillant, qui doit être située dans le plan du rayon incident et du rayon réfléchi, et passer ici par le centre (O, O'), se trouvera nécessairement dans le plan vertical OS. Or ce plan coupe la sphère suivant un grand cercle qui se projette en vraie grandeur suivant B"g"H"; donc si Ton trace le prolongement O^a'' du rayon lumineux et la verticale O''^", la droite O^'X" qui divisera l'angle a"0"ê" en deux parties égales, sera la normale du point brillant, lequel se trouvera dès lors projeté latéralement en X% et horizontalement en X.

210. Quant au point brillant de la projection verticale de la même sphère, il sera entièrement distinct du précédent, car ici les rayons réfléchis devront être regardés (n** 204) comme perpendiculaires au plan vertical XY: dès lors la normale du point. brillant, qui doit passer par le centre (O, O'), devra se trouver dans le plan d^'O'S' perpendiculaire au plan vertical et parallèle aux rayons lumineux. Or ce plan d^'O'S' coupe la sphère suivant un grand cercle qui, rabattu autour de sa trace cf'O'S', vient se confondre avec A'&'V; le rayon lumineux (Oc?, O'c?'), entraîné dans ce mouvement, va se rabattre suivant O'c?" que l'on obtient en prenant la perpendiculaire c^'cf" égale à &e; enfin, le rayon réfléchi (Oy, O') se rabat suivant la perpendiculaire O'y" : donc, en tirant la droite O'fx" de manière à diviser par moitiés l'angle (J^"0'7% le point /u'' sera le rabattement du point brillant; et pour avoir sa vraie position, il faudra le ramener en |x' par une perpendiculaire à la charnière cJ'O'S'.

Mais, comme nous l'avons déjà dit au commencement de ce numéro, on devra se souvenir que les points X et jx' ne sont pas les deux projections d'un même point de la surface sphérique.

CHAPITRE m. — POINTS BRILLANTS ET DÉGRADATIONS DE TEINTES. 8 1 Sur les dégradations de teintes.

211. TiOrsque dans an dessin colorié ou simplement lavé à Tencre de Chine, « on veut reproduire les divers effets de lumière qui ont lieu sur un objet en relief, il ne suffit pas de connaître les séparations d'ombre et de lumière, les contours des ombres portées, les points brillants ou les lignes brillantes de la surface; il faut encore savoir apprécier la clarté plus ou moins vive que devront offrir les parties éclairées , et les ombres plus ou moins intenses des régions qui ne reçoivent pas de lumière directe; caria partie de ces régions

qui se trouve en dedans du contour apparent, reste visible pour 1 observateur, et souvent dune manière très-distincte, par suite des reflets de Tatmosphère (n' 195).

Or, le degré de clarté quun élément de surface présente à Tobservateur dépend de deux caoses: i^ de la quantité de lumière directe ou reflétée qui est reçue par cet élément superficiel ; a** de la portion plus ou moins grande de cette lumière reçue que cet élément renvoie vers Tœil du spectateur. Nous allons donc tâcher d apprécier successivement ces deux causes, lesquelles dépendent de circonstances assez diverses, et dont quelques-unes même échappent à toute évaluation rigoureuse.

212. Intensité de la lumière reçue par r objet éclairé. Soit MN un élément, Pl. la, c'est-à-dire une portion infiniment petite, de la surface du corps T qui est FiG. 7. éclairé par le point lumineux S. Ce point envoie, tout autour de lui, des rayons

de lumière auxquels nous supposons la même intensité dans toutes les direc* tions; et dès lors la quantité absolue de lumière qui tombera sur Télément MN, ne dépendra que du nombre des rayons lumineux contenus dans le c6ne MSN. Or, sans changer la grandeur de lelémeut MN , si Ion fait varier son inclinaison ou sa distance au point S, la capacité angulaire du cône SMN variera; donc, pour estimer cette capacité d'une manière fixe, il faut couper ce cône par une sphère décrite du point S comme centre, avec un rayon constant SA que nous prendrons égal à l'unité linéaire; et alors ïaire de la section AB sera proportion-nelle à la quantité de lumière reçue par MN. En effet, pour un autre élément M'N', la quantité de lumière qu'il recevra sera évidemment double ou triple de celle qui tombe sur MN , lorsque la section A'B' aura une aire <louble ou triple de la section AB.

213. Pour obtenir une mesure plus précise, désignons par k la quantité de lumière que le point S enverrait à une petite paroi plane , égale à Tunité super-

ficietle, par exemple le millimètre carré, si cette paroi plane était placée dan» la position AB. k sera une grandeur constante qu'il faudra déterminer par Fexpérience, et qui ne changera quavec la nature du point lumineux; ce sera rintensité de la lumière due au point S, rapportée à Tunité de surface, à lunitéde distance, et dans une direction orthogonale ; et conséquemment Ax AB exprimera la quantité absolue de lumière qui se trouve renfermée dans le cône SMN, ou qui tombe sur l'élément MN.

214. Gela posé, si Ton coupe encore le même cône SMN par une sphère décrite avec un rayon égal à la distance SM que nous désignerons par R, la section MD sera une aire infiniment petite, située dans le plan tangent de la sphère, et conséquemment perpendiculaire à la droite SM, comme cela arrive déjà pour AB; donc ces deux sections parallèles, faites dans le cône SMN, seront entre elles comme les carrés de leurs distances au sommet, et Ton aura la relation