CHAPITRE III. — POINTS BRILLANTS ET DÉGRADATIONS DE TEINTES, fij

de la relation (3) , et la formule (4) deviendra ainsi (5) X = A sina sine = A i^ - ap - b,) (^ - ^p - b'ç) ^

en représentant la direction des rayons lumineux par x = az^ y = bz^ celle des rayons visuels par x = a'z, j = 6'z, et par p et q les différences partielles de z tirées de Téquation F (x, j, z) = o de la surface éclairée. ,

223. Pour simplifier cette expression, on peut toujours choisir Taxe des z de Pl. la, manière qu'il divise par moitiés lanj^fle SÂO formé par le rayon lumineux et le FiG. 8. rayon visuel; puis, adopter le plan de cet angle pour celui des xz; alors on aura évidemment 6 = o, 6' = o, a' ^=z -^a, et la formule (5) prendra cette forme

bien simple

224. Au moyen de cette expression analytique, cherchons le point brilknt de la surface éclairée, c'est-à-dire celui qui offre le maximum de clarté apparente. On sait qu'il faut satisfaire aux deux conditions — = o, et — = o, lesquelles deviennent ici

Or on vérifie simultanément ces deux équations par Thypothèse p = o et ^ = o, ce qui donne X = B pour le maximum de clarté apparente, et annonce que cette circonstance aura lieu au point M de la surface où le plan tangent est parallèle au plan des xy: donc la normale en ce point sera parallèle à Taxe des z; et d*après la disposition que nous avons admise au n^ 223 pour les axe:» coordonnés, on voit que la normale MN du point brillant est telle qu'elle divise en deux parties égales l'angle S' MO' formé par le rayon lumineux et le rayon visuel, résultat qui s'accorde parfaitement avec ce que nous avons trouvé par d'autres considérations dans le n^ 193.

Si la surface en question était cylindrique ou développable, la condition précédente fournirait non pas un point, mais une ligne brillante, puisque les normales seraient toutes parallèles le long d une même génératrice.

225. Les équations (7) et (8) n admettent pas d'autres solutions que la précédente; car, pour la question physique, il faut rejeter toutes celles qui rendraient négative la quantité X; et par la même raison , cette variable n admet d'autre minimum que zéro, valeur qui s obtient en posant

(9) 1— a*r>^=:o, d'où p=±^.

La première de ces deux solutions indique tous les points de la surface T pour lesquels le plan tangent est parallèle à la droite AS qui a été représentée par .r = az; car lequation générale du plan tangent

dans laquelle on poserait Y = o pour obtenir la trace sur le plan des xz, donnerait une droite parallèle à x = az, ce qui suffit bien pour que le plan tangent soit lui-même parallèle à cette direction, quel que soit d'ailleurs q. Il s'ensuit que le lieu des points de la surface T qui répondent à la première valeur (9), est précisément la séparation dombre et de lumière sur le corps T, et il est vrai de dire que la clarté apparente y est nulle, puisque nous ne teaons pas compte des reflets de latmospbère, dans les calculs précédents.

Quant à la seconde racine de l'équation (9), on verra de même qu'elle indique tous les points de la surface T où le plan tangent devient parallèle à la droite AO qui a été représentée par x = — az) donc le lieu de tous ces points est le contour apparent du corps T, puisque le spectateur est supposé ici placé à une distance infinie, dans la direction AO; et pour ce contour, la clarté apparente devient effectivement nulle, puisque les points situés sur cette limite cessent d être vus par l'observateur.

228. On peut aussi se proposer de trouver, sur la surface du corps éclairé, les courbes d'égale teinte y ou plutôt les zones infiniment étroites dont chacune offrira dans tous ses points la même clarté apparente y et devra conséquemmeut être recouverte d'une teinte uniforme. Il suffit, pour cela, d'égaler à une constante arbitraire la valeur de X tirée de (4) ou (6) ; et si l'on s'arrête à l'hypothèse du parallélisme pour les rayons lumineux et pour les rayons visuels , la condition sera

laquelle, jointe à l'équation F (oc, j, z) = o de la surface éclairée, déterminera