PROBLÈMES DIVERS SUR LES UGMES DROITES

Des droites horizontales y non parallèles au tableau. « Pl. i5 297. Etant donnée la perspective A' B' d'une droite que ton sait être horizon-- FiG. I. ^f^ ^' à une hauteur h au-dessus du géométral^ i^ trouver la trace et le point de j^ite de cette droite; a** lui mener une parallèle ou une perpendiculaire par un ' point donné sur le tableau.

En prenant sur la verticale du tableau la hauteur ZH = h , Tborizontale HT^ sei*a la ligne de terre du plan où est située la droite proposée; ainsi la rencontre de HT' avec A'B' prolongée, fournira la trace demandée T', c'est-à-dire le point où la droite originale vient percer le tableau. Bailleurs, puisque cette dernière est horizontale, son point de fuite doit être sur la ligue d'horizon DD': il doit être aussi sur la perspective A^B'; donc il est en F.

298. Si Ton veut retrouver la vraie direction de la droite originale, il . suffit de rabattre l'œil en O', en prenant PO' = PD', puis de tirer la droite O'F

qui , étant le rajon de fuitCy devra (n^ 265) se trouver parallèle à la droite originale; ainsi, après avoir projeté la trace T' en T, TAB menée parallèlement à O'F sera la projection, sur le géométral, de la droite primitive dont la position est dès lors complètement déterminée, attendu qu'on sait d ailleurs quelle est dans le plan horizontal T' H.

Si l'on avait besoin de connaître la position originale du point A', on tirerait A'P qui représenterait une perpendiculaire au tableau, dont la trace serait en R ; par conséquent cette perpendiculaire aurait pour projection , sur le géométral, la droite RA qui, avec TB, déterminerait le point demandé A.

299. Observons ici que la connaissance seule de la perspective A' B' dune droite , ne suffirait pas pour déterminer complètement la position de cette ligne originale, puisque cela ferait connaître seulement qu'elle est située dans

CHAPITRE III. — PROBLÈMES DIVERS SUR LES LIGNES DROITES. lai le plan conduit suivant A'B' et le point de vue; mais lorsqu'on donne en outre un second plan qui reaferme encore la ligne cherchée, ainsi que Texprinie renoncé du n^ 297, alors cette ligue n'est plus susceptible que d une seule position, que Ton pourra toujours assigner en cherchant l'intersection de ces deux plans. En général, la perspective d un objet n équivaut qu'à uoe de ses projections, et ne suffit pas pour le définir; mais si Ion avait deux perspec* tives du même corps, relatives à deux points de vue différents, et faites sur le même tableau ou sur des tableaux distincts, le corps serait Imtersection des pyramides qui auraient pour bases ces perspectives , et pour sonunets les deux poiots de vue assignés; de sorte que sa position et sa forme seraient déterminées, quoique d*une manière moins commode que par le système de deux projections oilhogonales, lesquelles se prêtent beaucoup plus facilement à la mesure des dimensions absolues.

300. Pour mener du point M' donné sur le tableau, une parallèle perspective à Â'B', il suffit de joindre M' avec le point de fuite F; car les deux lignes M' F et A' F représenteront les perspectives de deux droites originales qui seront bien parallèles entre elles, puisqu'elles auront le même point de fuite F.

301. Si du point A' on veut mener une perpendiculaire perspective à A'B', on tirera O^/" perpendiculaire géométrale sur O'F, et l'on joindra le point de fuite/ avec A'. En effet, si l'on conçoit que le triangle FO/ soit relevé dans le plan d'horizon, autour de sa base F/*, les côtés O'F et 0/ comprendront bien un angle droit dans 1 espace; et puisque les droites A' F et A!f représentent (n^ 300) deux parallèles à ces côtés , il en résulte que l'angle FA/ est perspectivemeut droit.

Si l'on voulait que cet angle perspectif eût une grandeur quelconque co, il faudrait mener O/de manière à former avec O'F un angle géométral égal à w.

302. Diviser en deux parties égales t angle perspectif donné FA/, formé par Y\q. i, deux horizontales. Les points de fuite des deux côtés de cet angle devant être

sur la ligue d'horizon en F et/ il suffira de les joindre avec le point de vue rabattu en CK pour obtenir un second angle FO/ qui , relevé dans le plan d'horizon y aurait ses côtés parallèles à ceux de l'angle original; donc, en tirant la droite O'ç de manière à diviser l'angle FO/en deux paiiies géométralement égales, la ligne k'tf qui leprésentera une parallèle à O'y, donnera aussi deux angles FA'f el f A/qui seront perspectivement égaux.

303. Etant donnée une perspective T'P (fui fuit au point principal, et dont Pl. i5, la trace est T% i® trouver sur cette droite une profondeur VA' de i mètre; a** â FiG. a. partir d'un point donné A', trouver une longueur k'W de 3 mètres; 3^ trouver la

laa LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

vraie distance de deux points donnés A' et B'; 4® diviser la portion donnée A'B' en 3 parties qui soient perspectivement égales.

Puisque la perspective donaée a pour point de fuite le point principal P, elle représente une droite originale TB perpendiculaire au tableau, mais située à la hauteur de la ligne de terre T'H. Si donc on prend sur cette dernière une longueur T'R' égale à un mètre, ou plutôt à un module Q, et que Ton joigne R' avec le point de distance D, cette ligne R'D déterminera la profondeur demandée T'A'. En effet, la droite R'D sera la perspective d'une ligne à 4^°, telle que RA sur le géométral; or cette dernière irait couper TB à une distance TAï=TR= i"*; donc T'A' est bien la perspective dune portion TA qui a une longueur d un mètre , et Ion dit alors que T'A' est perspectivement égale à un mètre.

504. A' étant un point donné, si Ion veut trouver une distance A'B' qui soit perspectivement égale à 3 mètres, on tirera DA'R', on prendra R'S'sgéométralement égale à 3 mètres ou à 3 modules, puis on mènera S'D qui déter* minera la longueur cherchée A'B'. En effet, R'D et S'D sont les perspectives de deux droites parallèles , inclinées à 45® sur le tableau « et projetées sur le géométral suivant R A çt SB ; donc on a

TA = TR, TB = TS, d'où AB = RS = 3«;

par conséquent A'B' qui est la perspective de la portion AB, est perspectivement égale à 3 mètres: ou autrement dit, A'B' et R'S' sont deux lignes perspectivement égales; et comme la seconde est dans le tableau même et a une longueur absolue de 3 mètres, la première est dite aussi de 3 mètres en perspective.

505. Réciproquement, étant donnée une portion déterminée A'B' en perspective, pour trouver sa grandeur, on tirera les lignes DA'R, DB'S', et Tintervalle R'S', intercepté sur la ligne de terre qui passe par la trace T' de la droite

(*) Comme une perspective n'est pas toujours exécutée de grandeur naturelle, nous appe- Ions module \9i longueur destinée à représenter la grandeur absolue d'un mètiie , pour les lignes situées dans le tableau même. Toutefois, il faut bien observer que cette première réduction qui est arbitraire , mais invariable pour un même tableau , n'empêchera pas que les autres droites égales à i mètre, et qui ne seront pas dans le tableau, ne subissent tine dégradation plus ou moins considérable à raison de leur position, dégradation ({u'il faudra déterminer par les règles exposées dans ce chapitre.

GHAPITBE m. — PR0BL]^n:8 DIVERS SUR LES LIGNES DROITES. îa3 donoée, indiquera la vraie grandeur de A'B^ Gela résulte de ce que A'B' et R'S' sont (n^ 304) les perspectives de deux droites égales AB et RS, dont la dernière conserve sa grandeur originale, attendu qu'elle est dans le tableau même.

306. Pour iH viser la portion donnée A'B' en trois parties perspectivement égales, il suffit de joindre les extrémités A' et B' avec un point quelconque/ de }a ligne d*borizon , par les droites/A' û,/B'fc, puis de diviser rintervalle ab en trois parties égales géométralement ,'^lors les lignes de jonctionyîi,/e, fg^ fb^ diviseront A'B' de la manière demandée. En effet, ces lignes sont les perspec* tives de droites parallèles entre elles , également écartées les unes des àbtres , puisqu'elles interceptent sur le tableau des intervalles acj eg^ gby égaux entre eux ; donc ces parallèles diviseraient bien AB en trois parties égales , et ces parties ont évidemment pour perspectives A'E', E'G', G'B'.

507. Etant donnée une perspective T'F gui fait au point quelcongue ¥ de la Pl. i5, ligne d'horizon , et dont T' est la trace sur le tableau^ \^ trotwer sur cette droite, à FiG. 3. partir du tableau, une distanceT' A' égale à i mètre; ù,^àpartird'unpointdonnéA'y trouver une longueur A'B' de 3 mètres; 3® trouver la vraie distance de deux points donnés A- el B' ; 4^ diviser la portion donnée A'h' en n parties égales.

Après avoir rabattu le point de vue en O', et avoir mené le rayon de fiiite O'F delà droite proposée, on rabattra ce dernier suivant FO"; puis on prendra T'W = i", et l'on tracera R'O" qui fournira la distance demandée T'A'. En effet, nous savons (n^ 298) que la droite originale de T'F serait projetée sur le géométral suivant une ligne TB parallèle à CF ; or si l'on prend TA = i™, et qu on décrive un arc de cercle avec ce rayon , la corde AR se trouvera parallèle (n*> 269) au rayon visuel O'O"; cette corde, qui a sa trace en R', aura donc son point de fuite en O", et sa perspective sera la ligne R'Cy, laquelle détermine ainsi une portion T'A', qui est bien la perspective de la longueur TA = i«*.

Cela revient à dire que la figure A'T'R' est la perspective dun triangle isocèle ATR , dont un des côtés TR conserve en perspective sa grandeur origi** nale, attendu qu'il est dans le tableau; donc T'A' et T' R' sont deux lignes perspectivement égales.

308. Si A' est un point donné, et qu on veuille trouver une longueur A'B' perspectivement égale à 3 mètres, on joindra le point de vue rabattu en O"" avec le point A' par la droite O'A'R'; et après avoir pris la distance géomé^ traie R'S' de 3 mètres, on mènera S^' qui déterminera le point cherché B'. En effet, si^AB représente la portte» iticonnoe de la droite originale TA&qae

Ton sait devoir être parallèle à O'F, et que Ton rabatte cette ligne TAB sur le tableau autour de sa trace (T, T'), les points A et B vont décrire des arcs de cercle dont les cordes AR et BS se trouveront parallèles au rayon visuel O'O'' (n® 269); donc O" sera le point de fuite de ces cordes. La première AR aura ainsi pour perspective 0"A', et elle viendra percer le tableau en R' sur Tbori- ^ontale T'H; la seconde corde BS qui doit aboutir à une distance de 3 mètres percera donc le tableau au point S' tel que R'S' = 3™; et alors sa perspective étant S'0'\ cette dernière ira déterminer sur T'P la portion A'B' qui sera bien la perspective d'une longueur originale AB de 3 mètres.

309. Réciproquement, si Ton demandait la vraie distance de deux points A' etB' assignés sur la perspective, on les joindrait avec le point (y par les droites O'A'R', 0"B'S', lesquelles fourniraient R'S' pour la grandeur géométraie de A'B'; car cette dernière est la perepective d'une ligne AB qui se rabattrait suivant RS, ou plutôt suivant R'S'.

510. Enfin , s'il faut diviser une portion donnée A'B' en trois parties perspectivement égales, on joindra les extrémités A' et B' avec un point quelconque /de la ligne d'horizon, et en divisant l'intervalle ab en trois parties égales, les droites yè,ygr, partageront A'B' de la manière demandée , ainsi que nous l'avons prouvé au n** 306.

Pl. i5 3H. Trouver sur la perspective T'F des parties successives B'C, CE',... per^ FiG. 4. spectivement égales à l'intervalle donné A'B\ On pourrait évidemment résoudre cette question par des constructions semblables à celles du n° 308, en portant sur la Hgne de terre T' H de la Jig. 3 des intervalles égaux à R'S'; mais voici un autre procédé plus avantageux , surtout lorsqu'on a besoin d'élever des ver* ticales par ces points de division, comme dans une façade de bâtiment où il faut placer des fenêtres, des portes, des pilastres, etc.

Après avoir élevé en A' et B' deux verticales de longueur arbitraire, mais terminées à une droite A''F qui fuit au même point F que la droite donnée, on joindra ce point F avec le milieu M de A' A" par une ligne MF qui coupera aussi B'B'^ en son milieu, et l'on tracera la diagonale A'' M' qui ira déterminer le point G'. De même, on élèvera une troisième verticale C'C", et Ton tirera B"M" qui ira déterminer le point E'; puis la verticale E'E'", et la diagonale CM"' qui fournira le point G', et ainsi de suite. Par là, on obtiendra des intervalles B'G', G'E', E'G',... tous perspectivement égaux à A'B'; car la figure A' A'^G^'G' est évidemment la perspective d'un rectangle dontA'^G'est la diagonale, et dont M' est le centre^ puisque ce point est à la rencontre de la diagonale avec la droite MF menée parallèlement aux bases par le milieu M de la