CHAPITRE III. — PROBLÈMES DIVERS SUR LES LIGNES DROITES. laS

baatear; donc la verticale WM'B' cpii passe par ce centre, divise la base du rectangle en deux parties égales, et conséquemment les intervalles A' B' etB'C sont bien les perspectives de deux parties géométrales de même loii|pieur.

312. Au contraire, si Ion voulait trouver le milieu perspectif de Tintervalle donné A'B', on tirerait la diagonale A'^B' qui couperait MF au centre du rectangle A'A^B'^B'; et alors la verticale menée par ce centre diviserait A'B^ en deux parties perspectivement égales.

313. CM)servons , d'ailleurs, que toutes ces constructions pourraient aussi s effectuer sur des parallèles à la base XY, telles que A'a^ B'b,.,,^ comme le montre suffisamment \sLfig. 4-

Des droites parallèles au tableau.

314. Étant donnée une verticale AfB' située dans un plan de front connu, Pl. i5. I** trouver son pied sur le géométral; a** trouver la vraie grandeur de la portion FlG. 5* A'B'; 3® trouver une longueur A' M' égale perspectivement à i mètf^e; 4^ diviser

A' B' en trois parties égales.

Si le plan de front assigné est à i mètre en arrière du tableau , on cberchera sur PY {n^ 303) une profondeur YQ dun mètre perspectif, en prenant YL= i™ et tirant LD'. Ensuite, la droite QR menée parallèle à XY, sera la perspective de la trace du plan de front sur le géométral; et conséquemment sa rencontre R avec A'B' sera le pied de la droite proposée.

315. Pour avoir la vraie grandeur de la portion A'B', il suffit de joindre ses extrémités et le pied R avec un point quelconque F de la ligne d'borizon, par les droites FR , FA', FB' ; et ces deux dernières iront intercepter, sur la verticale élevée dans le tableau par le point r, un intervalle ab qui sera la vraie grandeur de A'B'. En effet, les lignes Fa et ¥h représentent deux borizontales parallèles; ainsi la figure A'B' 6a est un rectangle dont le côté ab, situé dans le tableau même, indique la vraie longueur de celui qui a pour perspective A'B'.

316. De même, si Ion a besoin de trouver sur A'B' une longueur perspective de I mètre, on prendra sur la verticale rb une portion am = i™ en grandeur absolue, et la droite mF déterminera la partie cherchée A'M': car A'M' et am sont les perspectives de deux droites parallèles et égales, puisqu'elles sont comprises entre les parallèles Fa et Fm.

317. Enfin, pour diviser A'B' en trois parties perspectivement égales, il suffira de diviser la ligne A'B' elle-même en trois parties dont les grandeurs absolues soient égales, attendu quune droite parallèle au tableau conserve

Il6 LIVRE II. -^ PERSPECTIVE LINÉAIRE.

(n^ 276), entre toutes les parties de sa perspective, les mêmes rapports qui existaient entre ses parties originales.

Pl. i5, 518. Étant donnée une perspective A' B' qui est dans un plan de front connuy FiG. 6. trouver y i^ le pied de cette droite sur le géométral; a® la vraie grandeur de la portion A'B'; 3® une longueur A/M! égale perspectivement à un mèlre; l\^ diviser A'B' en trois parties égales perspectivement.

D'abord , si le plan de front où est située la droite proposée se trouve à i mètre, par exemple, en arrière du tableau, on cfaercbera, comme au n**505, une profondeur XQ d'un mètre respectif, en prenant XL= i"*, et tirant LD. Ensuite, la droite QR menée parallèlement à la base XT du tableau, sera évidemment la perspective de la trace du plan de front sur le géomé* tral; et le pied de la droite proposée se trouvera conséquemment an point R où A'B' rencontre QR.

519. Pour obtenir la vraie grandeur de A'B', concevons la droite originale rabattue sur la trace QR de son plan de front, autour de son pied R. On sait (n"* 275) que, dans ce déplacement, toutes les parties de cette droite conserveront la même grandeur en perspective; ainsi A'B' deviendra a'b\ Maintenant, pour avoir la grandeur absolue de cette dernière, je joins ses extrémités avec un point quelconque F de la ligne d'horizon; et les droites Fa', F6', qui représentent deux parallèles, viendront intercepter sur la base du tableau XY, un intervalle ab qui sera la vraie longueur de a'b% et aussi de A'B^ Il restera donc à évaluer en mètres, ou en parties dn module adopté, la longueur absolue de a6.

520. Si Ton veut trouver sur A'B' une longueur A' M' perspectivement égale à I mètre, il suit évidemment de ce qui précède, qu après avoir rabattu le point A' en a', il faudra tirer Fa', prendre am = i™, puis tracer mF qui fournira la longueur dégradée a'm' représentant un mètre dans le plan de front assigné; il restera ensuite à reporter a'm' en A'M'.

Remarque. Au lieu de ce rabattement Ra'6', que nous avons voulu indiquer comme un moyen qui devient nécessaire quelquefois, il eût été plus court ici de joindre un point quelconque F' de la droite d'horizon avec R, A', B'; et par le point où F'R aurait rencontré XY, on eût mené parallèle^ ment à A'B' une droite sur laquelle on aurait opéré directement, ainsi que nous Tavons fait, dans la^i^. 5, pour la droite rb.

521. Enfin, pour diviser A'B' en trois parties perspectivement égales , il suffit de partager A'B' eUe-méme en parties dont les grandeurs absolues soient égales ; car nous savons (n"* 276) que la perspective d une droite parallèle au