CHAPITRE III. — PR(»LÈM£S DIVERS SUR LES LIGNES DROITES. l3l

aa^tgné ci-dessus , et il n y aura plus qu a élever uue verticale MM' qui ait une longueur perspective de 7 centimètres. Pour cela, on joindra le point P avec la division marquée 7 surÂZ,et la verticale BC représentant 7 centimètres (n" 316), il suffira de prendre MM' = BC pour obtenir la perspective M' * demandée.

331. On aurait pu même se dispenser de recourir aux divisons de AZ, et prendre MM' := BL; ear cette dernière lojigueur égale perspectivement AR qui est de 7 centimètres, et d'après le théorème du n^ 275, les droites MM' et BL représentant deux lignes égales situées dans le même plan de front , doivent être égales.

332. La ligne AX , ainsi divisée, est dite l'échelle de front; AY' P est l* échelle Jujrante, et enfin AZ est iécheUe des hauteurs. On voit aussi que lemploi de

ces échelles dispenserait de tracer, sur le géométral , la projection de lobjet original, et qu'il suffirait de connaître numériquement les distances de chaque point remai*quable aux rois plans ZAX, ZAY' et XAY', ce qui est facile à se procurer quand il s'agit de corps réguliers, comme ceux que Ion rencontre dans rai*chitecture.

333. S'il fallait obtenir le plan de front situé à i3 centimètres, par exemple, il serait incommode de recourir au i3^ point de division de AX; mais voici comment on peut Téviter. En tirant Thorizontale 6K, la distance RK représente déjà 6 centimètre^; donc la droite DK , qui est inclinée à 4^% irait couper AX à une distance du point R égale à RK, et conséquemment à une distance du point A égale à 1 3 centimètres; ainsi cette droite RK fournira sur AY' le i3® point de division, et Thoriafontale i3G sera le plan de front demandé. De même, si Ion tirait la droite DG , elle irait couper Téchelle fuyante AY' au ao^ point de division ; et ainsi de suite, avec des combinaisons que Ton peut varier de bieu des manières.

334. Méthode des carreaux. Quand le tableau doit représenter un grand nombre de petits objets, irrégulièrement disposés, comme un intérieur d appartement, on partage le géométral en carrés d'un centimètre, par exemple, et dont les côtés sont parallèles et perpendiculaires à la base du tableau; 00 répartit sur ces cases les objets en question, suivant Tordre supposé; puis on trace la perspective de ces carrés au moyeu de leurs diagonales , qui concourent en D, comme nous lavons fait aux n^ 330 et 333; et alors le tableau se p^^. |5^ trouve divisé en carreaux perspectifs , sur lesquels on place approximative- p|Q, g^ ment les objets comme ils le sont sur le géométral. Ce procédé est trop sim<»

plé pour que nous le développions davanta,ge; il sert soiavent €lu1l peintres,

l3a LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

pour faire lesquisse de leurs dessins, ou bien pour réduire un grand tableau sur une échelle plus petite.

De la distance figurée ou réduite.

Pl. 1 5, 355. Il arrive assez souvent que les points de distance D , D', se .trouvent hors FiG. 7. du cadre du tableau, et trop éloignés pour qu'on puisse y recourir; aloi*s on emploie un procédé que nous allons expliquer sur lexemple suivant. S'il fallait trouver, sur la perspective TP qui fuit au point principal , une longueur TA de 3 mètres, on devrait (n° 503) prendre TG=3"', et tirer DAG qui fournirait le point demandé A; mais si j adopte une distance Pc/ moitié de PD, et que je réduise aussi la longueur TG à sa moitié T^, la ligne dg passera nécessairement parle même point A. En effet, à cause des triangles semblables APD, ATG, la droite DG divise TP en deux parties PA et AT qui sont entre elles dans le rapport de PD à TG; par une raison semblable, la droite dg divisera TP en deux parties dont le rapport sera celui de Prf à Tgf; or ce dernier rapport étant, par hypothèse, le même que le précédent, il s'ensuit que TP est coupé en un seul et même point par les lignes DG et dg. Si Ion avait voulu réduire la distance PD au tiers Pe/', il aurait fallu prendre la longueur Tgf égale au tiei*s de TG, et la droite d' g' aurait encore passé par le point A.

Les longueurs Pc/, Vd'j.,, sont ce qu on appelle la distance figurée on distance réduite.

F16. II. 556. Citons un autrci exemple de cette réduction : Etant donnée la perspec^ tive AB d'une droite horizontale , former au point A un angle qui soit perspectif vement égal à o. D'après la méthode du n^ 501, il faudrait employer le point de rencontre de AB avec PD; mais comme ce point de fuite est trop loin, joignons le point A avec le point principal P, et élevons la verticale Pa = -^ PD ; prenons aussi Pa = -^PA, et tirons a6 parallèle géométrale à AB. Alors, pour résoudre le problème en question relativement à la droite ab et avec lœil rabattu en o, on sait(n^ 5(H) quil faudrait tirer ob^ former langle bog = o^y tirer ag^ et que langle bag serait perspectivement égala bog. Cela posé, je dis qu'il suffira de mener AG parallèle géométrale à ag, pour que Tangle BAG soit langle demandé. En effet, étant donnés un objet original quelconque et un point de vue qui restejQt fixes dans- lespace , si Ion conçoit que le tableau se rapproche parallèlement à lui-même, il est évident que ce tableau mobile devra couper la pyramide des rayons visuels suivant un polygone toujours semblable et parallèle au polygone primitif; d'ailleurs, le sommet homo-