AE : EM :: BG : GN

339. On pourrait aussi tirer la sécante arbitraire MA, et joindre les points FiG. i3^ M et A avec un point quelconque S de la droite d'horizon PD; puis, en menant

am parallèle géométrale à AM, et a/* parallèle géométrale à AB, il suffirait de tirer mf et de lui mener une parallèle géométrale MN. Car MN et AB iraient se couper en un point F qui se tix>uverait nécessairement sur PD, attendu que le triangle AMF peut être considéré comme une section parallèle à la base de la pyramide qui serait projetée suivant Samf.

340. Le problème de tirer par le point assigné M une droite qui converge FlG. i4« vers le point de rencontre inconnu F de deux droites données AB et PD , admet encore une solution d'autant plus remarquable ici, qu'elle peut être justifiée par

les principes mêmes de la pei^pective des droites parallèles. Tirons les deux sécantes arbitraires MA, ME, et joignons leurs pieds par les droites HA et GE qui vont se rencontrer en S : par ce dernier point, menons une troisième se-

l34 LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE,

cante arbitraire SBK, qui détermine un second quadrilatère BEGK dont les (lia^jonales se coupent en N ; alors la droite MN sera la ligne demandée, et Ton pourrait en construire un troisième point, en menant une nouvelle sécante par le point S,

Pour justifier cette construction, il suffit d'observer que les deux qjaadrila"tares AEGH, BEGK, peuvent être considérés comme la perspective, sur le tableau assigné, de deux parallélogrammes tels que aegh^ begky choisis de manière qu aucun de leurs côtés ne soit parallèle à ce ta^bleau; car alors les côtés ûf/i, egf, 6A, devront concourir en perspective vers un même point S , tandis que ab et hk convergeront vers un autre point F sur le tableau. Or la droite mn qui joint les centres de ces parallélogrammes, serait bien parallèle à ces derniers côtés; donc sa perspective MN, qui est déterminée par les intersections M et N des diagonales sur le tableau, devra aussi concourir au même point F. Pl. 1 5, 541. Lorsque le point assigné M est hors des deux droites données PD et AB, FiG. i5. la solution est un peu moins simple. Après avoir mené les deux sécantes arbitraires MAG, MBE, et les diagonales du quadrilatère ABEG qui se coupent en C, on joint ce dernier point avec M, et la ligne MC peut être considérée comme la perspective de la droite qui diviserait le parallélogramme représenté par ABEG en deux parallélogrammes AKHG et BKHE , perspeciwement égaux; car elle passe par le centre C du parallélogramme total, et elle est parallèle aux côtés GA et EB, comme concourant tous trois au même point M sur le tableau. Cela posé, tirons les diagonales GK et HB de ces parallélogrammes partiels; elles devront être nécessairement parallèles dam i espace y et sur le tableau elles concourront en un certain point N : de même, les diagonales HA et EK , qui sont parallèles dans lespace, concourront sur le tableau en un point L. Or je dis que les quatre points L, M, N et F sont en ligne droite; car ce sont les points de fuite de quatre systèmes de droites parallèles deux à deux, et toutes situées dans le pian du parallélogramme représenté par ABEG; et Ion sait (n"" 282) que ces points de fuite doivent être tous sur Tintersection du tableau avec le plan mené par Toeil parallèlement à celui du parallélogramme. Il résulte de là que les deux points trouvés L et N sont plus que suffisants pour tirer, du point assigné M, une droite qui concoure certainement eu F.

Problèmes inverses de perspective,

542. Le problème qui aurait pour but de retrouver la forme et la position d un objet original dont la perspective est donnée $ur un tableau plan, serait