CHAPITRE XUL EXAIEV DES CELSTirX EX LFHÉRE C0>TER6E!(TE

axftfc. I 3, CrjiiATix à deax axes crLT^ies. $ 4. R6> de U âisi>enâon czisUlfiDe. I 3 GÉXÉI^ ALITÉS 5CR LES PflÊS0MÈ5£S EX LUMIÈRE COXVERGEXTt

260. Ob«enrati«i <■ pkéMBêae et matare ies tiares aMeaMes. Les

ph^noiMLfTz q'i'ofi observe en lumière convergente sont fort différent?; de ceux que nous avons étudiés avec la Inmière parallèle. Us

consistent en la formation de certaines figures caractéristiques. dues en partie à des interférences, que l'on observe avec le dispositif approprié décnt a. 144. p. 141 . Nous rappellerons brièvement que la plaque est placée entre deux systèmes convergents C et O fig.344 . Le premier, qui reçoit de la lumière polarisée, la concentre fortement dans la lame cristalline; le second, qui joue le rôle d'objectif, reprend les rayons au sortir de celle-ci pour les transmettre à Fœil de Tobservateur qui les examine au travers d'un analyseur. Grâce aux retards différents que prennent les rayons qui traversent la lame, ainsi qu'à leur polarisation, il se forme une figure d'interférence directement visible dans l'appareil d'obsen'ation. Cette figure est disposée sur une surface de révolution autour de Taxe optique: elle est à deux nappes, tangentes au foyer principal lorsque l'objectif est une lentille quelconque non corrigée de ses aberrations. Si, comme c'est le cas dans la plupart des microscopes polarinants, on emploie des objectifs à court foyer établis de façon à satisfaire d'une manière plus ou moins rapprochée à

l'équation d'ABBK:

sina n. . ^

. ^ = ^ = constante

l'image se forme alors pour une certaine étendue, sensiblement sur ujia sphère passant par le foyer principal, et la distance D d'un point

• <f fntne

Fig. U\.

Courbes isochromàtiques 301

quelconque de l'image à l'axe principal est alors proportionnelle au sinus de langle que font les rayons dans le milieu placé en avant de la lentille frontale,

D = JTsinn.

La figure observée consiste en courbes qui sont obscures et lumineuses lorsque l'appareil est éclairé par de la lumière monochromatique. Elles sont de deux espèces: Les unes deviennent colorées en substituant la lumière blanche à celle monochromatique; leur forme est indépendante de la position des axes rtg et n^ de la lame relativement aux sections principales des niçois supposés croisés. Elles ne se déforment donc pas par une rotation de la lame dans son propre plan et leur forme n'est pas liée à l'orientation initiale du plan de polarisation. Ces courbes sont dues exclusivement à des phénomènes d'interférence, on les nomme courbes ùockivmatiques ou (fégal retard. Les autres courbes, également obscures en lumière blanche aux niçois croisés et incolores lorsque les niçois sont parallèles, se modifient dans la plupart des cas par la rotation de la lame dans son plan; leur forme est liée à l'orientation des axes rig et rip de la lame relativement au plan de polarisation du faisceau incident; on les appelle généralement isogyres,

261. Courbes isochromàtiques. Supposons une lame biréfringente d'épaisseur e recevant obliquement un faisceau étroit de rayons lumineux iSjfl, iSj6, S3C, etc. (fig.345). L'onde incidente normale au faisceau, se décompose à son entrée dans le cristal en deux ondes, cheminant suivant des directions normales différentes. Elles sont polarisées perpendiculairement l'une à l'autre ou à peu près, et se propagent avec des vitesses inégales. Au sortir de la lame, ces ondes se propagent de nouveau suivant une direction parallèle à l'axe du faisceau incident, et chacun des rayons, comme i:ifi' par exemple, transmet deux vibrations polarisées perpendiculaire- pig. 346.

ment entre elles, et possédant un certain retard. Nous pourrons toujours en effet nous imaginer qu'en un point // quelconque où sortira un rayon, arriveront deux ondes polarisées perpendiculairement, qui sont dues à deux rayons incidents S, a et S^b différents. Désignons par v et v' les vitesses des ondes transmises suivant les directions a(i et b(i. Les mouvements émis

Lumière conTergente

en araDt de Toode a' h employeront , pour arriver en ^^ des temps /, et /, diflërentë, selon qu'ils suivent le trajet a'a^ oa hj^. Ceox-d seront, si r, et i\ désignent les vitesses respectives relatives à celle de Tair prise comme unité:

Pendant ces deux intervalles de temps, les ondes qui se propageraient dans l'air efiectaeraient les trajets /, et /, dont la différence mesure le retard exprimé en millionièmes de millimètre.

Si v^ et v^ sont les indices de réfiraction des deux ondes nous aurons:

l^—l^ = a^ir^ — bfiv^ + aa' .

Si Ton connaissait l'épaisseur e de la lame, et l'orientation des directions aii et b^i dans l'ellipsoïde inverse, on pourrait calculer les divers éléments de cette formule et exprimer le retard en un point quelconque d'émergence. Toutefois il est inutile de se livrer à ce travail, car on peut, dès le début, apporter une simplification importante au raisonnement qui précède. Si l'on tient compte de la faible différence qui existe entre les axes principaux des ellipsoïdes de la plupart des corps cristallisés, l'on est conduit à considérer l'angle affb comme très petit, et de grandeur négligeable. Dans ces conditions, les deux ondes émergentes en {i auraient le même retard que celles qui se propageraient dans le cristal suivant une direction unique aa' Fig. 346. (fig- 346) qui se- confond avec afi et (ib (fig. 345),

ce qui équivaut à admettre que la direction de propagation normale des ondes coïncide avec celle des rayons lumineux. Le retard entre ces deux ondes sera alors aisé à calculer; nous avons en effet déjà vu à ce sujet que le retard à une distance ç de l'origine entre deux ondes qui se propagent suivant une direction comme a a faisant avec les axes optiques des angles 0 et d\ est donné par la formule (a. 201, p. 221):

li = Qi^fg — ;?p') = Qifig — //p) sin# sinO'.

Isogyres 303

Quant à la polarisation de ces deux ondes, elle se déduira du théorème de Fresnel. En a' émergent donc avec un certain retard, deux rayons qui marchent suivant une direction commune; ceux-ci sont transmis par l'objectif 0 à l'œil Oe de l'observateur après avoir traversé l'analyseur (fig. 346). Les vibrations de ces deux rayons sont polarisées à angle droit, elles se décomposent dans l'analyseur A, en donnant, comme nous le savons deux composantes parallèles à sa section principale qui sont transmises et interfèrent entre elles. Si aux niçois croisés, leur retard est égal à un nombre impair de ^A, soit R={2n -{• 1) ^A, l'interférence sera positive; si au contraire JB = 2n\k, soit un nombre pair de ^i, l'interférence sera négative, et vice versa aux niçois parallèles. Il en résulte que le point P où le rayon rencontre la surface focale 22' sera éclairé ou obscur selon les cas. Le condensateur envoyant dans la lame des rayons sous des inclinaisons et orientations différentes, nous aurons de la sorte sur cette surface focale une série de courbes alternativement lumineuses et obscures, joignant sur celle-ci les points qui correspondent à des mêmes retards pris par les rayons en traversant la lame. Enfin comme ces retards sont indépendants de l'orientation du plan de polarisation de la lumière incidente relativement aux axes Ug et Wp', de la lame, ces courbes ne pourront se modifier par la rotation de celle-ci.

Quant à la forme de ces courbes, elle pourra être établie par la recherche des lieux géométriques des points où le retard des ondes (ou des rayons) est constant. La surface de Bertin (a. 201, p. 221} se prête admirablement à une opération de ce genre, et les courbes isochromatiques seront données par l'intersection des surfaces d'égal retard |A, 2^ A, 3|^A, etc. avec un plan parallèle à celui de la lame.

262. Isogyres. Dans la recherche des courbes isochromatiques, on ne fait intervenir que les retards que prennent les ondes ou les rayons qui traversent la lame, sans se préoccuper de l'orientation de leurs vibrations relativement aux sections principales du polariseur et de l'analyseur. Or l'intensité de la lumière transmise par ce dernier dépend non seulement du retatd, mais encore de l'orientation du plan de vibration (a. 167, p. 174). Lorsque cette vibration se trouve à la sortie de la lame dans un plan parallèle à la section principale du polariseur, on sait qu'elle est arrêtée par l'analyseur aux niçois croisés, et traverse aux niçois parallèles. Parmi toutes les ondes transmises par le faisceau convergent et polarisées au sortir de la lame dans des plans différents, il s'en trouve nécessairement dont les vibrations sont contenues dans un plan parallèle à la section principale du polariseur, elles seront donc arrêtées par l'analyseur aux niçois croisés et

Lumière coDvergente

transmises aux niçois parallèles. Nous aurons donc sur la surface focale 1^2' d'autres points qui seront obscurs dans le premier cas, et lumineux dans le second, et dont le lieu formera les iaogyres. Ces courbes seront évidemment indépendantes de la lumière employée; elles ne se coloreront pas si celle-ci devient blanche.

Soit une direction quelconque de propagation dont le pôle est eo P (fig, 347). L'application du théorème de Fresnel nous permettra d'obtenir la direction des vibrations des deux ondes qui se propagent suivant cette droite. Celles-ci seront fournies sur la projection stéréographique, par les tangentes menées en P aux deux grands cercles aPa! et bPb\ qui sont les projections des plans bissecteurs des dièdres obtenus en menant deux plans par la direction de pro^ pagation et par chacun des axes optiques A et B, Si nous faisons cette construction pour tous les points de la projection, nous pourrons

facilement reconnaître que la direction des vibrations change avec la position de la ligne de propagation, et qu'il sera toujours possible d'en trouver qui sont contenues dans le plan de la section principale du polariseur. Si on tourne la lame dans son plan, ce sont d autres directions qui transmettent sans altération les vibrations du polariseur, l'isogyre subira en conséquence une déformation.

La forme de ces courbes sera dépendante de celle de l'ellipsoïde optique, de l'orientation de la lame, et de la position des axes Ug et rijl relativement aux traces des sections principales des nicok La recherche de la forme de ces isogyres consistera dans celle du lieu des droites contenues dans le cristal, qui, pour une position donnée, transmettent sans altération une vibration polarisée dans une direction déterminée. Le calcul est compliqué et ne saurait trouver place ici. L'un de nous* a démontré que l'on obtient une surface conique représentée par l'équation: •

,^, ' , [a! — 6') sin 2 0 cos w — [e cos ô + fsin Q) sin q>

(1) tangi//= — ^ ^ ^ — ^

Fig. 347.

(/•cos(9 — e sin») cos2r/) + [(a'— V) cos*« + *' — C] Wi^(f

pour les directions dont les vibrations s'effectuent dans le plan de la section principale du polariseur et

p , ___ [a! — V) sin 26^ cos^/)' — (fcosO — e sin g) sin y'

(Jj imgip — (y sinô"+-^5-os>^) côs2 y' +~[(a - b') sih^O + 6' — C] sin2(3P

1 F. Pearce, Zeitsch. f. Kryst. 41. 1905, 113.

•so^yres

pour celles qui sont contenues dans un plan perpendiculaire au précédent. Dans ces équations, q>^ ip et rp', xp' fixent la position de ces deux différentes directions de propagation OD et OD' dans le sens indiqué par la (fig. 348). 0 est l'angle que forme Tune des directions d'extinction de la lame avec la section principale du polariseur, et a', 6', c', e et f sont des coefficients de l'ellipsoïde inverse dont l'équation est rapportée aux lignes d'extinction de la lame et à sa normale. Lorsque cette lame est perpendiculaire à un axe d'élasticité, ces équations se réduisent, selon la valeur de <9, à celles de cônes du second degré dont la section par un plan parallèle à celui de la lame est une hyperbole, ou encore deux droites rectangulaires. Les équations ci-dessus donnent alors:

,o\ * . sin2ô

(3) tang ip =

Fig. 348.

2[c^s«ÔH-|^— ^Jsing)

tang«/»' =

sin2d

2[sin*(? + ^--|]sin9)'

qui mises en coordonnées rectangulaires deviennent en posant:

sin2(9 sin2ô

et

^H'+îcl]

(5) XT- RX^ = RZ*

(6) XY- RX^=R'Z\

XçX Y étant respectivement parallèles au polariseur et à l'analyseur. Rapportées à de nouveaux axes rectangulaires ^, ij, Ç, les équations 5 et 6 deviennent, à la suite d'une transformation par rotation autour de Z en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre d'un angle ^ pour la première et v pour la seconde:

|.[£!^ R cosV.] - n^Y^'- + R sinVe] = t*R

sin2«>

sin2i>

r«[-?^ - R sinv] -^'«[-^ + i2'cosv] = Ç'-R'

Dnparc k Pearce L

Lumière convergente

Les angles fx et v sont définis par les coefficients des rectangles t, i; égalés à zéro et donnés par:

cos2,ii + R sin2]u = 0 cos2i' •— R sin2i/ = 0.

L'élimination de ju et y entre ces dernières et (7) et (8) donne enfin:

.f^i,),.(^^;+V,).ar

où les signes des coefficients sont toujours ceux de jB ou M'.

Les intersections avec le plan de la lame des surfaces représentées par ces diverses équations, fourniront les isogyres. La forme de celles-ci variera pendant la rotation de cette lame, puisqu'elle dépend de 0. L'équation (9) serait celle donnant les isogyres aux niçois croisés et (10] celle aux niçois parallèles, si laissant la lame et Tanalyseur fixes, on amène la section principale du polariseur parallèle à celle de ce dernier.

263. Isotaqnes on ellipses des vitesses. M. Becke^ a indiqué récemment un procédé qui permet de se rendre compte à première vue

de la forme qu'auront les isogyres dans chaque cas particulier. Il prend comme point de départ les courbes qu'il appelle ^éUipsa des vitesses*, M. Beer^ qui a le premier indiqué ces courbes, les définit comme étant les lieux géométriques des intersections avec une sphère des droites passant en son centre, et faisant avec les axes optiques des angles (p et q)' dont la somme est constante (fig. 349)

</? + r/)' = 2 a = constante.

Cette définition présente comme on le voit, une certaine analogie avec celle de l'ellipse dans le plan.

Il est dès lors possible de construire sur la sphère deux systèmes de ces courbes, selon que pour fixer la position d'un point on se sert des pôles des axes optiques groupés autour de l'une ou de l'autre des deux bissectrices. Les ellipses qui enserrent les axes autour de la bissectrice aiguë, s'appellent ^équatoriales*, la somme (p + q)'=s2a

i Becke, Denksch. d. K. K. Akad. d. Wiss. Wien, Bd. LXXV, et Min. et Petr. Mitth. 24. 1, 34.

2 Bebr, Einleitung in die hôhere Optik. 2. Aiifl. 5. 304, 373.

Fig. 349.

Recherche des isogTres pu lu isolaqaes et les skiodromes 307

est comprise entre ud minimum de 2 F et 180°; celles qui enserrent les axes autour de la bissectrice obtuse se nomment ^ellipses mêridiemtes», la somme gs + v = 2a', où ^ = 180° — ?>' y varie de 180° — 2 Fè 180°.

Ces courbes jouissent de quelques propriétés remarquables qui sont les suivantes:

1" Chacune d'elles est le lieu des normales des ondes qui se propagent dans le cristal avec une même vitesse; nous les appellerons pour cette raison courbes dégaU vitesse ou isotaques.

2° En chacun de leurs points la vibration de l'onde correspondante est normale à la courbe.

^■•: -"> ^<S/A É^'ikA. ^4.'. ^

Fig. 350. Sphères avec les ellipses des vitesses d'après H. le Prof. Becik. (Modèles de là maison Krantz à Bonn.]

3° Les ellipses méridiennes et équatoriales se coupent orihogonalement, et leurs tangentes en un point d'intersection donnent les directions des vibrations des ondes qui se propagent suivant la droite passant par ce point et le centre de la sphère.

4° Le cône qui a son sommet au centre de la sphère et dont les génératrices s'appuyent sur l'une de ces courbes, est du deuxième degré; les projections de ces courbes sur les plans d'élasticité optique sont du deuxième degré également, des ellipses ou des hyperboles.

5° Si par l'intermédiaire de l'ellipsoïde inverse, nous déterminons les vitesses des ondes qui correspondent à ces deux systèmes de courbes, nous trouverons que pour les ellipses équatoriales, elles sont comprises entre Vg et v^ si le cristal est négatif et v^ et ty s'il est positif. Pour les ellipses méridiennes, les vitesses des ondes sont

comprises entre r^^ et r^ ébez les cnstanx négilife el r^i el r^ ciiei les positifi.

Si l'on se figure maintenant tontes œs combes tmoées sur la sorbiee de la q>hëre. on anra de la sorte une re|Késentatîon gôiérale de la direction des ribrations des ondes, ceUes-d sont tangentes aox deox conrbes en leor prâit d'intosection. Des moddes de ce genre ont été exécutés par IL Becke ponr les cas des cristanx imiaxes et biaxes arec diflerentes Tal^irs de 2V; ils sont lirrés an commoce par la maison Kbavtz de Bonn et reproduits sur la fig. 350 qui est extraite du catalogue de la dite maison. Les d&ax premières s|^res

en commençant par la gaudie représentent les isotaques des cristanx uniaxes^ les trois suivantes celles de cristaux biaxes, avec 2r=30^, 60^ et 90«.

Le même résultat pourrait être obtenu à Faide d'une projectkm stéréograpbique qui, conmie on le sait, a la propriété de consenrer aux angles leur valeur.

264. Skitèrmes. M. Becks donne le nom de <Skiodrame8» aux projections orthogonales des isotaques et s*en sert pour déduire immédiatement la forme des isogyres. Le calcul de ces skiodromes se fera comme suit: Désignons par l, fi et f^ les angles que fait une direction OS avec les axes XTZ (fig. 351) et q> et q>' les angles qu'elle iait avec les deux axes optiques A et B, nous aurons:

(1) ç) + ^' = 2a = constante dans laquelle a'^V^ puis

(2) cos<p = cos sinF+ cos»' cosF

(3) cos<jp' = — cos sinF+ cosf cosF. D^autre part d'après (1) on a:

cos2a = cos(ijp -h 9?') .

Développant et élevant au carré il vient:

cos*2a — 2 cos2a cosfp cosqp' =1 — cos*y — cos^y'

qui donne si Ton y remplace cos<jp et cos<jp' par leur valeur déduite

de (2) et (3)

4) sin* a ces* a = eos* v ces* F sin* a + cos' Â sin* F cos* a .

Fig. 3ôL

Recherche des isogyres par les isotaques et les skiodromes 309*

Cette équation peut être mise en coordonnées rectangulaires; pour cela, remarquons que si xyz sont les coordonnées d'un point quelconque a de la droite OS on aura:

fins L =z — cos^ = ^

Yx^ + y^ + x*' "^ Vx^ + y* + z*'

cosv = .—-,. ,

V a;* + y* 4- ît* en substituant dans (4) et après réduction, il vient:

^ ' sm*a cos*F— cos*a cos a

qui représente un cône du second degré.

L'équation des isotaques s'obtient en lui adjoignant celle

r* = «* + y* + X* de la sphère de rayon r.

Les projections sur les trois plans coordonnés seront:

1^ Sur le plan xy perpendiculaire à la bissectrice aiguë :

^' + yl = 1

r* sin*a .cos* F — cos* a