COS* F
qui représente une ellipse dont les axes seront^
Vcos* F— COS* a
a = r sina , b = r
cos F
2P Sur le plan xy normal à la bissectrice obtuse, nous obtiendrons une hyperbole:
r* cos* a , cos* F — cos* a
sin*F
j . 1, , , X IV • . L Vcos*F— cos*a
dont Taxe réel c = rcosa et 1 imagmaire fc = r r—rf
sm F
3^ Sur le plan xx parallèle au plan des axes optiques, une ellipse:
r* sin* a r* cos* a
sin* F cos* F
dont les axes sont:
r sina r cosa
sinF ' cosF
Les projections des courbes méridiennes sur le même plan, 2 a' étant la somme des angles fourniraient:
^ a, b et e sont les axes suivant x, y et x des courbes projetées.
310 Lumière convergenle
1° sur xy perpendiculaire à la bissectrice aiguë, une hyperbole
. . „ . , , , ^ 1.- ■ ■ i. Vsin'F — cos*a' dont "axe réel a ^r cosa et 1 imaginaire 6 = r =
3° sur le pliia xy normal à la bissectrice obtuse, une hyperbole
j . 1. Ai. ■ - . n ■ ■ i. Vain* F — ces* a' dont l'axe réel c=r sina', et l'axe imaginaire o' = r — =
3° sur le plan xx des axes optiques, une ellipse dont les axes sont: , sina' , ■ coso'
cos V sin K
Fig. 364.
Les &g. 352, 353 et 354 donnent la disposition des skioâromea sur tes plans perpendiculaires à la bissectrice aiguë, à la bissectrice obtuse et sur le plan parallèle aux axes optiques, pour un minértd dont 2r=60".
Les formules qui précèdent permettent de construire aisément ces skiodromes pour chaque section principale. Si l'on veut les obtenir pour une section quelconque dont le pôle se trouverait en projection orthogonale en M par exemple (fig. 355], il faut rechercher la projection
Recherche des isogyres par les isotaques et les skiodromes
des isotaques sur le nouveau plan, ce qui s'obtiendra en imprimant à la projection sur un plan principal, une rotation OM égale à celle amenant M en 0. L'on procédera comme suit:
Si P est un point quelconque du réseau de skiodromes construit sur un plan principal sur lequel se projette M (fig. 355), une rotation, qui amènera M au point 0, amènerait également P en Q.
Pour trouver la position du point Q, il faut évaluer d'abord l'angle OJf qui est mesuré évidemment par l'arc OM', et le reporter à partir de P sur le petit cercle 8PT sar lequel Pse meut. On rabat le cercle 8PT autour de ST, mène PP' parallèle à 00, et reporte à partir de P' dans le sens de la rotation l'angle GOM'; on obtient le point Q' par lequel on mène une parallèle QQ' k l'axe de rotation, qui déterminera la position de Q.
Cette construction devra être répétée pour tous les points des skiodromes. On peut également pour ces rotations se servir des canevas stéréographiques, mais il faut passer pour cela de la projection orthogonale h celle stéréographique.
265. Dérivation des isogyres à l'aide des skiodromei. Les isotaques méridiennes et équatoriales sont, ainsi que cela a été dit, normales en chacun de leurs points aux vibrations que transmettrait un faisceau conique de rayons émanant du centre de la sphère de représentation. Les points d'intersection des courbes où leurs normales se trouveront parallèles ou perpendiculaires aux sections principales des niçois, seront les pôles des directions qui transmettent sans altération les vibrations parallèles au polariseur, qui sont arrêtées par l'analyseur. Une isogyre s'obtiendra en réunissant tous les points satisfaisant à la condition énoncée. La recherche de ces points se fera en superposant aux skiodromes un réseau de droites parallèles aux sections des niçois (fig. 366j. Si on tourne les skiodromes sur le réseau de la même manière qu'une lame entre les niçois, on peut suivre le changement qui se produit dans les isogyres. On remarque que si l'on détermine les isogyres par l'un ou l'autre des systèmes de courbes, on obtient deux lignes, l'une relative aux ellipses équatoriales, l'autre aux ellipses méridiennes. Ces deux courbes se confondent dans la partie centrale mais se séparent sur les bords de la projection, les courbes ne s'y coupant pas ortbogonalement. Toutefois l'isogyre qu'il sufBt de considérer au point de vue pratique, a une direction intermédiaire.
Fig. 366.
Lumière conyergente
§ 2. CRISTAUX UNIÂXES.
266. Surface d'égal retard. Celle-ci a été déjà établie (a. 201, p. 221) et devient, si Ton remarque que 0 = 0':
R z=i q[ng — Up) sin*ô.
R = n\k pour une certaine radiation, et ç est le rayon vecteur de
la surface faisant avec Taxe optique Tangle 0.
Cette surface est de révolution, et rappelle un hyperboloide à une nappe (fig. 357). Nous obtiendrons pour des retards croissants, une série de surfaces semblables, emboîtées les unes dans les autres, et ayant le même axe de révolution.
On peut, par une construction graphique, se faire une idée de la forme de la courbe méridienne de cette surface. Posons tout d'abord
Fig. 357.
2(7*^ — flp)
et traçons un cercle de rayon K (fig. 358). Puis construisons une droite OA faisant avec x (axe optique) un angle 0, et
rencontrant le cercle au point a.
En a on mène la tangente au cercle, elle intercepte sur OX un segment
sinô
En élevant maintenant sur OX une perpendiculaire en-B, celle-ci rencontre le vecteur en un point A appartenant à la courbe, puisque
(JA = ^— ^ = . ,^ • sm© sm*Ô
Les sections perpendiculaires à x sont évidemment des cercles.
267. Isotaqnes. Ces courbes qui doivent réunir sur la sphère les pôles des directions d'égale vitesse de propagation, sont des cercles parallèles, normaux à Taxe optique pour les isotaques équatoriales , et des cercles méridiens passant par l'axe optique pour les isotaques méridiennes.
Puisque 2F = 0, on aura 0 = 0\
Fig. 358.
Cristaux
par UD plan parallèle & la lame, consistent en
26S. Section normale à l'axe optique. Les courbes isochromatiques fournies par l'intersection de la surface d'égal retard
O Sin'fl = ny-
une série de cercles alternativement lumineux et obscurs, correspondant & des retards {X, S^i, etc. tracés autour d'un même point obscur, qui est le pôle de l'axe optique, où le retard est nul.
L'équation de ces cercles s'obtient aisément; désignons par r le rayon de l'un d'eux et par e l'épaisseur de la lame nous aurons, si nous tenons compte que r ^ p sinS et p' = r* -[- e*:
Les rayons des anneaux obtenus dépendent, pour une lumière de lon> guenr d'onde ï. déterminée, de l'épaisseur de la lame et de sa biréfringence. Ils sont d'autant plus petits, et par conséquent ces cercles d'autant plus nombreux, que l'épaisseur et la biréfringence sont plus considérables. Pour une valeur déterminée de e et de ttg — n-, leur diamètre dépend aussi de la longueur d'onde de la lumière employée; la formule montre encore qu'avec la lumière rouge, ces anneaux sont plus grands qu'avec la lumière violette, pour laquelle la valeur de A est plus petite. Comme les divers anneaux produits avec des radiations de longueurs d'onde différentes n'ont pas le même rayon et ne peuvent par conséquent pas se superposer, il en résulte qu'en lumière blanche les courbes isochromatiques seront irisées, à l'exception du point central qui reste obscur. Aux niçois parallèles les teintes des anneaux seront complémentaires de celles obtenues aux niçois croisés.
Les skiodromes seront constitués par des petits cercles concentriques, et par des droites passant par le p6le de l'axe optique (Eg. 359). Il en résulte que les isogyres que l'on obtiendrait par le procédé indiqué précédemment, seraient deux droites perpendiculaires entre elles, jalonnant les sections principales des niçois. Cette figure ne subira, comme il est facile de s'en rendre compte, aucune modification par rotation de la lame dans son propre plan.
Ce résultat pouvait d'ailleurs se prévoir directement. Il suffit pour cela de se rappeler que tout plan passant par l'axe optique est une section principale, et que les directions de propagation qui y seront
Fig. 369.
814 Lumière convergente
contenues transmettent toujours deux vibrations, l'une ordinaire et l'autre extraordinaire, polarisées respectivement parallèlement et perpendiculairement à ce plan. Parmi toutes les sections principales qui sont perpendiculaires au plan de .la lame, il s'en trouvera toujours deux qui seront parallèles aux sections des niçois; les ondes dont les rayons y sont contenus, seront transmises sans altération jusqu'à l'analyseur, où elles seront arrêtées.
On peut aussi déduire la forme des isogyres des équations (£>) et (6) (pag. 305) qui représentent le lieu des directions transmettant les
Fig. 360. Fig. 361.
Figures obtenues en Inmiëre convergente aux niçois croisés (360) et p&rallèlea i361)
avec une lame de calcite de .'. mm, d'épaisseur normale à l'axe optique.'
vibrations avec leur polarisation initiale. Dans le cas qui nous occupe, puisque 2F=0, on trouvera tout d'abord jB = 0 et iî' = 0, et les équations se réduisent à XY^O, ce qui représente deux plans parallèle et perpendiculaire à l'analyseur. Leurs intersections avec un plan parallèle à celui de la lame donnent deux droites se coupant à 90°. L'intensité lumineuse croît insensiblement de part et d'autre de ces deux lignes, et comme elle augmente tout d'abord très faiblement, il en résulte qu'au lieu de fines lignes obscures, on obtient une croix dont les bras sont d'une certaine largeur.
En résumé, la figure d'interférence donnée par une plaque normale à l'axe optique se composera (fig. 360 et 361):
1" d'une série d'anneaux qui représentent les courbes isochromatiques; ils sont alternativement lumineux et obscurs en lumière monochromatique, et irisés en lumière blanche.
■ Ces figures comme celles gui suivent relatives au\ images en lumière convergente ont été empruntées aux splendides ouvrages de M. le D'' Hans Hausswaldt, Interferenz-EracheinuQgen. Magdeburg 1902, 1904.
2° D'une croix, noire aiu niçois croisés et incolore aux niçois parallèles, dont les bras sont parallèles aux sections principales du polarisenr et de l'analyseur. Le centre de cette croix où le retard est nul, jalonne la trace de l'axe optique.
269. Section parallèle k l'axe optiqne. L'intersection de la surface d'égal retard par un plan parallèle & celui de la lame, nous doniiera la forme des courbes d'interférence. Comme dans le voisinage de son cercle de gorge, cette surface se rapproche d'un hyperboloïde à une nappe, il s'ensuit que pour une petite portion du champ, ces courbes seront sensiblement des hyperboles équilatères, alternativement lumineuses et obscures en lumière monochromatique et irisées en lumière blanche. Ces courbes ont toujours un axe réel et un autre imaginaire ; l'axe réel peut, dans les figures obtenues, coïncider soit avec l'axe optique, soit avec la direction perpendiculaire, de sorte qu'en général on peut s'attendre à obtenir simultanément deux systèmes de courbes, comme l'indique la figure 362.
En effet, si on s'imagine une série de surfaces d'égal retard:
ç siort
ni
■ ^ng — tlp)
Fl^. 362. Lame parallèle à l'axe optiqne, taillée dans an cristal de calcite, à 45° construites pour des retards croissant ^^^ sections principales des niçois, mon-
de 1 Ji à »iJ et embollées les unes ""' " *""'°S,'ïïi^,f "''" ""*"■ dans les autres, les courbes obtenues dans le champ seront celles formées par l'intersection de ces surfaces avec un plan situé k une distance e de l'axe de révolution, égale & l'épaisseur de la lame. Si nous faisons 6 = 90°, nous aurons :
quantité qui pour un retard déterminé -„-, donne le rayon du cercle de gorge de la surface. En outre, si pour l'épaisseur e on a:
m étant un nombre- quelconque compris entre zéro et n, toutes les
Fig. 363.
316 Cristi^
surfaces correspondant à des retards inférieurs & m{i. compris entre Ji et m^l, seront coupées par un plan extérieur au cercle de goi^e, et fourniront des courbes d'intersection dont l'axe réel est parallèle à l'axe optique, tandis que celles afférentes à des retards
supérieurs à —^ et allant de ^^ à ^ seront coupées par un plan
qui traversera le cercle de gorge. Les courbes obtenues auront alors un axe réel perpendiculaire à l'axe optique.
Si e{ng — Wp] est inférieur à \l, il est évident que ces courbes peuvent faire défaut.
En lumière blanche, va les remarques qui précèdent, les teintes de polarisation des courbes sur la trace de l'axeoptiqueserontinférieures dans les ordres de Newton k celle que présente le centre de figure, tandis que sur la perpendiculaire ft l'axe le fait inverse se produira. Il y a là, comme on le voit, un moyen qui permet de déterminer la position de l'axe optique et de reconnaître ensuite le signe du minéral.
Quant aux isogyres, leur forme dépendra de l'orientation de la lame entre les niçois. Les skiodromes se composent d'ellipses et de droites (fig. 363) qui sont les projections snr le plan de l'axe optique des isotaques Fig.364.l,.B,r.do„né.p.,.n.,.clio. 'ep^^ieiilées sur la sphère par des parallèle à l'axe optique, taillée dans un petits cercles perpendiculaires & l'axe
;Siïî*'?tA''u';°u'!°°'"°i"''' "P'iqus et des cercles méridiens paset la section principale de la lame est pa- '^ ^ *^
rallèle à celle de l'un des nicola. sant par les pôles de ce dernier. Lorsque cet axe optique devient parallèle à l'un des niçois, on obtient une croix noire iloue à bras très larges (fig. 364), car à la seule inspection des skiodromes, on voit que pour la plupart des points, les vibrations transmises (perpendicnlaires aux isotaques) ne s'écartent pas beaucoup de la section principale des deux niçois. L'intensité lumineuse croît donc très faiblement à partir de la trace de leurs sections principales jusqu'à une droite faisant avec celles-ci un angle de 45".
Lumière convergente 317
Le bras de la croix qui jalonne la trace de Taxe optique est généralement plus étroit et mieux accusé que celui qui lui est perpendiculaire, ce qui se dégage également de Texamen des figures 363 et 364. Une rotation de la plaque dans son propre plan amène une dislocation de cette croix en deux branches d'hyperbole qui, dans une certaine mesure, rappellent la figure obtenue avec les cristaux biaxes pour une lame normale à Tune des bissectrices. .
La forme des isogyres peut également se déduire des formules (9) et (10) (p. 306), qui, comme nous l'avons vu, représentent le lieu géométrique des directions transmettant des ondes dont les vibrations sont parallèles au polariseur ou à l'analyseur. En remplaçant a, b et c par leurs valeurs, on obtient d'abord pour 12 et 12':
lî = — cotgô 12' = — tang».
Les courbes d'intersection de ces surfaces avec un plan parallèle à la lame et rapportées à leur axes î? et § sont, si le cristal est positif*:
0 étant l'angle que fait n^ avec la trace du polariseur. Ce sont des hyperboles, dont l'axe réel est contenu dans le quadrant où se trouve Taxe optique, et varie de 0 à cx) pour la première, et de oo à 0
pour la seconde, lorsque 6 varie de 0° à -ç.~ •
L^une des hyperboles est sortante du champ et obscure aux niçois croisés, tandis que l'autre est rentrante, et sensiblement obscure également pour la partie de la courbe qui peut être contenue dans le champ de l'instrument de polarisation. Pour les cristaux négatifs, les conclusions seraient semblables.
Lorsque 0 = 0^ les hyperboles se transforment en deux droites parallèles aux sections principales* des niçois. L'observation de la dislocation de cette croix permettra toujours de fixer la position de l'axe optique.
En résumé une plaque parallèle à l'axe optique montrera en lumière blanche:
1° Des courbes isochromatiques, dont la forme est voisine de l'hyperbole, et dont l'axe réel se trouve parallèle ou perpendiculaire à l'axe optique. Les hyperboles de la première catégorie font défaut,
ï F. Pearcb, loc. cil.
Lumière convergente
si le retard H = e{ng — n^) de la lame est iaférieur & ^i. La teinte de polarisation de ces courbes correspond k des retards qai vont en décroissant à partir du centre sur la direction de l'axe optique, et en croissant sur celle perpendiculaire; ce qui permet de détenniner la position de cet axe optique.
Fig. 367.
Fig. 368.
Fig. 366. Lame de calcite inclinée de 67^" sur l'axe optique, aux niçois crotsds, et avec sa aection principale paiallèle à celle de l'un des niçois,
Fig. 366. M^me lame, mais £t 46° de la situation précédente.
Fig- 367. Lame de calcite inclinée de 46° sur l'axe optique, aux niçois croiséa, et avec sa section principale parallèle & celle de l'un des niçois.
Fig. 368. Lame de calcite inclinée de 10" sur l'axe optique, avec sa section principale à 40" de celles des niçois.
2° Des isogyres, qui se réduisent à une croix noire très floue dont les bras sont parallèles aux sections principales des niçois, l'axe optique du cristal étant parallèle à l'une de celles-ci; celui des deux bras qui jalonne la trace de l'axe optique est généralement un peu mieux accusé que l'autre. Une légère rotation de la lame amène la
CrLstaDx biaxes 319
dislocation de cette croix en deux branches d'hyperbole qui sortent rapidement du champ; les sommets de la courbe sont toujours contenus dans les quadrants où se place Taxe optique, dont la position pourra être aiiisi déterminée.
270. Section oblique sur Taxe optique. La forme des courbes isochromatiques dépend de Pinclinaison de la lame sur Taxe optique. Si nous considérons la surface de Bertin comme un hyperboloïde de révolution à une nappe, les intersections de cette surface avec le plan de la lame seront, selon les cas, des ellipses, des paraboles ou des hyperboles.
La forme des isogyres dépend également de l'orientation de la lame. Si Tangle compris entre la normale à celle-ci et Taxe optique est faible, l'isogyre sera représentée par une croix noire excentrique, dont les deux bras sont parallèles aux sections principales des niçois. Une rotation de la platine déplace le centre de cette croix sur un cercle concentrique à celui du champ de Tinstrument. Si Tangle que fait l'axe optique avec la normale à la section est supérieur à l'ouverture de l'objectif, l'isogyre se réduit à une barre noire, qui représente l'un des bras de la croix, et qui par rotation de la platine se meut dans le ' champ en restant sensiblement parallèle aux sections principales des niçois^ caractère qui permet de distinguer une section quelconque uniaxe d'une autre analogue provenant d'un cristal biaxe.
Enfin pour de très fortes inclinaisons, la figure obtenue se rapproche alors beaucoup de celle donnée par les sections parallèles à l'axe optique.
