jPcosa cos

46. Ellipsoïde inverse d'élasticité. U.^ Supposons maintenant l'existence d'une infinité de droites analogues à ab et passant par

i Fresnbl, Œuvres. II. Mac Cullagh, Trans. Irish Âcad. 16. 1830, 65. PlOcker, Jour, de Crelle 19. 1839, 10. L. Flbtscubr, The optical indicatrix.

Ellipsoïde inverse d*élasticité

Torigine des axes. Sur ces droites qui représentent tous les déplacements possibles, reportons une longueur inversement proportionnelle à la racine carrée de la force élastique mise en jeu par le déplacement correspondant, et donnée par l'expression ci-dessus. Le lieu des points ainsi obtenus sera un ellipsoïde, qui jouit de propriétés remarquables, et que l'on nomme < Ellipsoïde inverse (ï élasticité* ou premier ellipsoïde. [E.)

En désignant par q un rayon vecteur quelconque de cette surface, nous aurons:

ce qui donne:

VF,

I = A cos*a + B cos'fi -f- Ccos*y + 2Z)cos/i^cos/ + 2Ecosy cosa ^ +2F cosa cosli.

Fig. 49.

Fig. 60.

Si nous désignons par x, y et x les coordonnées d'un point quelconque de la surface, nous aurons:

cosa =^ — cos/i? = ^

cos/ -

en substituant dans l'équation ci-dessus il viendra:

l = Ax* + By* + Cx* + 2Dyx + 2Exx + 2Fxy

formule qui représente évidemment un ellipsoïde rapporté à trois axes rectangulaires quelconques. Si on le rapporte à ses trois axes principaux, son équation sera de la forme

iTx* + Ly^ + if^* = 1 .

Vitesse de propagation des ondes 41

La longueur d'un vecteur q quelconque de cette surface, est donc inversement proportionnelle à la vitesse de propagation d'une certaine onde plane, dont les vibrations sont parallèles à ce vecteur (fig. 49).

47. Vitesse de propagation des ondes daus une direction donnée.

L'ellipsoïde inverse va nous fournir un moyen très simple de trouver la vitesse de propagation des ondes planes dans n'importe quelle direction d'un corps anisotrope.

Pour cela, si 0^ (fig. 50) représente la direction considérée, on mène un plan diamétral perpendiculaire à ON, qui coupe l'ellipsoïde suivant une section généralement elliptique.

Toutes les droites qui sont contenues dans ce plan et qui joignent le centre 0 de l'ellipsoïde avec des points quelconques de cette section elliptique, sont des rayons vecteurs q de l'ellipsoïde, et comme tels sont inversement proportionnels aux vitesses des ondes planes qui se propagent perpendiculairement à chacune de ces directions. On pourrçiit croire a priori que selon ON pourront donc se propager une infinité d'ondes avec des vitesses différentes, mais il n'en est rien, car en vertu des hypothèses admises, deux de ces ondes seulement pourront cheminer selon OJV, ce sont celles dont les vibrations s'effectuent parallèlement aux axes OA et OB de l'ellipse de section. En effet, comme il est possible de le démontrer, ces deux ondes seulement satisfont à cette condition que le rayon lumineux, la vibration, et la force élastique, sont situés dans le même plan.

Ainsi une direction quelconque telle que ON, transmettra donc en général deux ondes planes qui lui sont normales, et qui sont polarisées parallèlement aux deux axes OA et OB de l'ellipse de section découpée dans l'ellipsoïde par un plan perpendiculaire à la direction considérée, plan qui lui-même est parallèle à Tonde plane. Les vitesses de ces deux ondes sont inversement proportionnelles aux deux demi-axes

de cette ellipse de section, soit -p^-j et >, ,, •