OA OB

48. Axes principaux. Considérons maintenant les cas où l'ellipse de section normale à la direction de propagation coïncide avec un plan principal de l'ellipsoïde, par exemple avec le plan UgU^ (iig. 50). Les deux directions OA et OB se confondent alors avec deux des axes principaux de l'ellipsoïde , Uy et w^ contenus dans la section, et les deux ondes planes se propagent avec des vitesses qui sont inversement proportionnelles à ces deux axes. Les vibrations s'effectuent alors dans des plans de symétrie et parallèlement à des axes de symétrie de l'ellipsoïde, et on peut démontrer ici que pour cette raison, les forces élastiques auront les mêmes directions que les vibrations

Axes principaux

ffanamise.i. Le rayon lumineux qui est, comme on sait, perpendiculaire sur la force élastique, coïncidera dans ce cas avec la normale à l'onde. Ainsi en résumé lorsque l'ellipse do section se confond avec un plan de symétrie de l'eUipsoïdc, la force élastique et la vibration sont parallèles, et de plus le rayon lumineux et la normale à l'onde plane coïncident. L'équation de l'ellipsoïde

A>* + Ly' + -W;' ^ 1 deviendra:

nV -\- b'if'- + ('■' = 1

dans laquelle -, . et - sont les longueurs dos axes principaux inversement proportionnelles aux vitesses normales de propagation des ondes suivant l'un ou l'autre de ces axes.

Comme suivant ces directions, les rayons lumineux sont normaux aux ondes et cheminent par conséquent avec les mêmes vitesses que celles-ci, ks quantités o, i et c représniknt indifféremment les vifesaes (te propagation des ondes ou des rayons suivant les trois axes principaux lie l'ellipsoïde. Ces ase^ sont donc proportionnds à trois qiianti^

M-p = , «m = . , »n = — "ïw >t^ sont autre chose que des imnces

de réfraction, puisqu'elles smit les inrersex des vitesses de propagation des

rayons ou des ondes correspondants.

Nous adopterons dans la suite de cet ouvrage les notations »„■»«• »p

pour désigner les trois axes principaux de cel ellipsoïde, n se rapportant au grand axe, n,„ au moyen et Hp au plus petit.

Un vecteur (pielcouque de l'ellipsoïde qui ne coïnciderait pas avec l'un des trois axes principaux, est inversement proportionnel à la vitesse de l'onde plane seulement dont les vil)rations sont parallèles à ce vecteur et représente par conséquent l'indice de réfraction pour cette onde et non plus celui pour le rayon correspondant.

En vertu des considérations qui vî- •enneiit d'être développées, on donne souvent à l'ellipsoïde inverse le nom d' t eUipsoide des iiulices'.^ Les trois axes de cet ellipsoïde représentent en effet

les trois indices de réfraction principaux du milieu considéré.

Fig. 51.

' L. F1.ETSC11KB, The optical indicalrix. London 1

Sections cycliques. Surface des vitesses Dormales

49. Sections cycliques. On sait que tout ellipsoïde coupé par tin plan quelconque, donne une section elliptique dont la longueur des axes varie avec la direction du plan. On pourra, par une orientation convenable de ce plan, obtenir des valeurs égales p(»ur les deux axes de l'ellipse, qui se transformera alors en un cercle.

Dans ces oonditions, les deux ondes qui se propagent suivant la normale ON [fig. 51) à ces sections cycliques, marcheront avec des vitesses égales, ce qui ne permettra pas de les distinguer. Cela revient à dire que la normale à une section cyclique ne transmet qu'une seule onde, dont la vitesse est indépendante de sa direction de polarisation; cette normale est donc une direction de monoréfringence, elle porte le nom dWe optique.

Comme nous avons vu qu'il existe de^ cristaux à un et à deux axes optiques, nous pouvons maintenant conclure que l'ellipsoïde qui caractérise les cristaux uniaxes doit être de révolution, car an tel ellipsoïde ne comporte qu'une seule section cyclique possible, qui est perpendiculaire à l'axe de révolution (fig. 62). Par contre l'eUipsoïde des cristaux bîaxes doit être à trois axes inégaux; on sait en efTet qu'un tel ellipsoïde comporte deux sections cycliques qui se coupent sous un angle dont la valeur dépend de celles relatives des trois axes de l'ellipsoïde {fig. 51).

50. Constrnctioii de la surface des vitesses normales.) Cette surface doit représenter le lieu des points atteints après une unité de temps par toutes les ondes émanéet* d'un centre d'ébranlement commun. Elle »

se construira en portant sur chaque direction de propagation une longueur proportionnelle à, la vitesse de déplacement de l'onde suivant celle-ci, et en réunissant les points obtenus.

L'ellipsoïde inverse (fig. 53) se prête entièrement à une construction de ce genre; il suffit en effet de reporter sur chaque direction telle que ON,, 0N^ etc., des longueurs yr— et et , etc. inversement proportionnelles aux demi-axes des ellipses

Fig. 62.

OR

OA

> Nedkamn, Pogg. Ann.

UchniqDe 35. 1863.

E SÈNARMONT, Travaux de l'École poly-

Surface des indices à deox nappes

de section découpées dans l'ellipsoïde par des plans normaux à ces directions, longueurs qui représentent, comme nous l'avons vu, les vitesses normales des ondes. Comme sur chaque direction nous aurons en général deux longueurs différentes à reporter, le lieu des points ainsi obtenus sera nécessairement une surface à deux nappes. La fig. 54; montre la forme de l'intersection de cette surface à deux nappes avec une section principale parallèle à //^//^ pour laquelle la construction indiquée a été exécutée.

n/Lll

fJm

Fig. 63.

51. Surface des indices à deux nappes.^ Si au lieu de reporter sur chaque direction de propagation telle que O^V,, les inverses des demi-axes des ellipses de section, on reporte au contraire des valeurs égales ou proportionnelles à OA et 0/y, , on obtiendra de la môme faf;on une nouvelle ^surface, à deux nappes également' Comme les longueurs OA et OJi^ sont les inverses des vitesses de propagation

normales -j et • . des deux ondes planes qui se déplacent suivant

OjV, , ces longueurs correspondent donc aux deux indices de réfraction (les ond(»s en question, et la surface obtenue représente alors la distribution des indices de réfraction des ondes dans le milieu considéré. Cette surface se déduira donc également de l'ellipsoïde inverse, elle aura comme lui trois axes de symétrie, dont la longueur

ï Hamilton, Trans. Irish Acad. 17. 1837, 131. MacCullagh ibid. 2ô2. Pi.OriKEn, Jour, de Crelle 19. 1839.

2 Nous désignons par OX la direction de propagation normale à une section faite dans Tellipsoïde inverse, et par OL la normale à une section elliptique de l'ellipsoïde direct.

Ellipsoïde direct et surface d'onde 45

représente aussi bien l'indice de réfraction des ondes, que celui des rayons suivant ces directions, en vertu des considérations précédemment développées (a. 48, p. 41).