AUTRES SURFACES A UNE ET DEUX NAPPES UTILISÉES EN OPTIQUE

Certains auteurs ont introduit dans l'étude des phénomènes optiques d'autres surfaces à une nappe jouant un rôle analogue à celui des ellipsoïdes précédemment décrits. Ces surfaces appelées •Oiofofetes*, sont du quatrième degré, et par conséquent sont moins commodes que les ellipsoïdes de Fhesnel. Ces ovaloïdes ne sont d'ailleurs que des transformées par rayons vecteurs réciproques.

54. Oraloïde des vitesses normales' et surface à deax nappes des indices des ondes planes^. L'ovaloïde des vitesses normales ou surface

I Fhesnel, Œnvres II. 350. F. E. Neumanm, Pogg. Ann. 25. 1832, 144. * Hamiltos, Trana. Irtsh Acad. 17. 1837, 131. Mac Cullagh, ibid. 252. PlOckeh, Jour, de Crelle IB. 1839.

Ovaloïde inverse des vitesses des rayons 47

d'élasticité à une nappe, s'obtient en reportant sur une direction quelconque de déplacement une longueur égale à la racine carrée de la projection de la force élastique. Cette projection est, comme on le sait, proportionnelle à la vitesse de déplacement des ondes planes, et a pour valeur (a. 45, p. 39).

F' = A cos*a -r B cos%^ + C cos*y + 27) cos/>* cos;' + 2E oos ^ cos«

+ 2i^cosa cos/if

l'équation de la surface est q = y F' ^vec

{}* = A cos*cf + B cosV + C cos*j/ + 2Z> cos/S? cosy + 2E cosy cosa

+ 2'Fcosa cos/:?

mais comme «* = x* + //^ + x* , cosa = , QO^â=^-- etc., cette

équation se transforme en une autre du quatrième degré qui rapportée à ses axes principaux sera de la forme:

(a;t + ^« + x'^f = a«a:' + b^y^ + cU* et

ç* == a* cos*a + b* cos*[i + ^* cos*y

en coordonnées polaires.

Cette surface n'est autre chose que la réciproque de l'ellipsoïde inverse, et possède comme lui trois axes de symétrie; elle permet de trouver la vitesse des ondes selon n'importe quelle direction, et d'établir par conséquent la surface des vitesses normales. Les vitesses de propagation des ondes pour une direction quelconque, sont proportionnelles aux axes des sections faites dans cette surface par un plan diamétral perpendiculaire à la direction considérée.

Si on reporte au contraire des longueurs qui sont inversement proportionnelles aux axes de ces sections, on obtient une autre surface à deux nappes, qui est celle des indices de réfraction des ondes.

55. Ovaloïde inverse des vitesses des rayons et surface d'onde réciproque. Cet ovaloïde n'est autre chose que la surface réciproque de l'ellipsoïde direct. Son équation rapportée à ses axes principaux est en coordonnées polaires

, cos*a cos*/î/ cos^y

et en coordonnées rectangulaires

Relations entre les diverses surfaces à une et deux nappes

Q est l'inverse de la vitesse de propagation du rayon, et représente par conséquent l'indice de réfraction de celui-ci. Les trois axes principaux de cet ovaloïde sont également les inverses des vitesses principales des rayons ou des ondes. Cet ovaloïde fournira la surface d'onde si l'on reporte sur chaque direction des longueurs inversement proportionnelles aux deux demi-axes des ovales découpés dans l'ovaloïde par le plan perpendiculaire.

Si par contre on reporte sur chaque direction une longueur proportionnelle aux deux demi-axes des ovales de section, on obtient une surface à deux nappes également, qui est du sixième degré, et représente la distribution des indices de réfraction dans le milieu.

Elle s'appelle surface d'onde réciproque.

56. Tableau résumant les relations entre les diverses surfaces à une

et à deux nappes.

Le tableau suivant résume les différentes surfaces dont il vient d'être question, a, 6 et c y représentent les vitesses principales de propagation des rayons et des ondes.

Surfaces à une nappe.

l*' EUipacUde inverse (Télasticiié.

Premier ellipsoïde, ellipsoïde des indices; défini (a. 46, p. 39).

ou

a' cos*« 4- b^ cos^iS ■+■ c* cos*)' = .^ •

Q représente Pinverse de la vitesse de Tonde plane qui lui est polarisée perpendiculairement, soit son indice de réfraction.

Sarfaces à denx nappes correspondantes.

A. Surface des vitesses normeUes on surface d'élasticité à det*x nappes.

Obtenue en reportant sur chaque direction des longueurs inversement proportionnelles aux axes de la section elliptique normale (définie (a. 60, p. 43) ).

cos' îl cos*^ cos'*' ^

Donner

Q représente la vitesse de Ponde plane qui lui est perpendiculaire.

B. Surface des indices des ondes planes ou surface réciproque des vitesses normales. Obtenue en portant sur chaque direction des longueurs proportionnelles aux axes de la section elliptique normale [définie (a. 61, p. 44) ).

cos'A

COS*/i COS* y

Q est rinverse de la vitesse de Tonde plane qui lui est perpendiculaire, c^est-à-dire son indice de réfraction.

Relations entre les diverses surfaces à une et deux nappes

Sarfaees à me nappe.

2^ Ellipsoïde direct ou deuxième ellipsoïde de Fresnel; (a. 62, p. 46).

ou

cos'a cos*/î

cos^y

Donne

Sorfaees à deux nappes correspondantes.

C. Surface de Vonde, Obtenue en portant sur chaque direction, des longueurs proportionnelles aux axes de la section elliptique normale (a. 63, p. 46).

c* COS* y

ç est la vitesse du rayon dont le plan de polarisation lui est perpendiculaire.

a* cos*A 6' cos'^

Qy représente la vitesse des rayons suivant cette direction, cette surface est Tenveloppe de A.

D. Surface abonde réciproqtte, ob* tenue en portant sur chaque direction, des longueurs inversement proportionnelles aux axes de Tellipse de section normale.

c^ cos' y

3° Ovaloïde des vitesses normales ou surface d'élasticité à une nappe (a. 64, p. 46).

te» + y' 4- «*]* « a*x^ + **y* -f c*** ou

a' cos-a H- ô* cos'/î -f- c' cos'y = ç^ .

^ désigne la vitesse de propagation normale des ondes planes polarisées perpendiculairement à cette direction.

Cette surface est réciproque de Tellipsoïde inverse.

a* cos* A 6* cos*^ â*e* — 1 S^'— 1 c*ç« — 1 Q représente Tindice du rayon sui- .vant cette direction.

Â. Surface des vitesses normales.

Obtenue, en reportant sur chaque direction, des valeurs proportionnelles aux axes de la section ovale normale.

Donne-

cos*;i cos*^

cos'*'

B. Surface des indices des ondes planes. Réciproque de A^ obtenue, en reportant sur chaque direction des valeurs inversement proportionnelles aux axes de la section ovale normale.

cos';i

cos*^

4® Ocaloïde inverse des vitesses des rayons (a. 66, p. 47).

(x»-fy^ + *V=--î + f,-H-

on

cos'rt , cos'/J . cos^y ,

Q est rinverse de la vitesse du rayon polarisé perpendiculairement à cette direction. Cette surface est réciproque de l'ellipsoïde direct.

Dapare A Pearce I.

Donne

C. Surface d'onde obtenue en portant sur chaque direction, des valeurs inversement proportionnelles à celles des axes de la section ovale normale.

a* cos^A ^ 6' cos*// -a'

.2 ,.ï « «2 ^'hi' •

c' cos*-* y

D. Surface d'onde réciproque en portant sur chaque direction, des valeurs proportionnelles aux axes de la section ovale normale.

a* cos* ^ .l>^ cos^ /Lt c* COS* y ^

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