AXES OPTIQUES ET AXES DE RÉFRACTION CONIQUE
84. Relation entre les angles des axes optiques et de réfraction conique. Nous allons maintenant chercher la relation qui lie l'angle des axes optiques avec les indices principaux, comme ^ aussi celle qui lie l'angle des axes de réfraction conique interne avec les vitesses principales. Ces axes étant respectivement perpendiculaires : aux sections cycliques des ellipsoïdes inverse et direct, et de plus compris dans les plans Ug Up ou Vjj Vg\ il faudra pour résoudre ^ le problème, chercher l'angle compris entre ^x. -^ la normale à l'une des sections et l'un des ^\^^
axes Wp = — ou Ug == — • 11 suffit pour cela ^'
^V/ 'p Fig. 105.
de faire un changement d'axes de coordonnées
par rotation autour de l'axe des y. L'équation de l'ellipsoïde inverse
étant:
Axes optiques et de réfraction conique 79
et d'autre part (fig. 105):
z = x' cosa — x' sina et x == x' sina + x' cosa;
les formules de transformation qui permettent de passer du système d'axes rectangulaires A', F, Z au système X\ Y\ Z* donneront
a:'*(a* cos'a + c* sin*a) + 6'^/* + t'*(a* sin*a + c* cos'a)
+ :z^'^'(a' — c«)sin2a = 1.
Posant «' = 0, nous aurons alors
a:'*(a* cos*a + c* sin*a) + i*î/* = 1 ,
équation de la nouvelle ellipse découpée dans rellipsoïde par un plan normal à Z\ faisant avec Z un angle a.
Si maintenant 6* = a* cos*a + c' sin*a, cette section deviendra cyclique.
Comme a, 6 et c désignent respectivement dans l'ellipsoïde inverse les trois vitesses principales ?'^, r^, v^\ on tirera de l'équation qui précède
sin«a = i:g^ ÎH, cos«a = -^^??ï ^^ et tang*« - V--"',-
ou si nous remplaçons r^, v,„ et Vp par leurs valeurs , - , ^^ ^
nous aurons:
(1) sin» « = ""»; - V . V (2) cos' « = ^; - -^^v . V
et (3)tang^a = ^^L^.|4.
Cet angle a ainsi défini, représente celui des axes optiques avec Taxe Z, lequel coïncide par définition avec 7ig, Désignant par V Tangle que fait l'un de ces axes avec la bissectrice aiguë nous aurons:
tangl-^l/^-V-""; np J/ Ug* — 7i„*
pour un cristal positif et
tangT'' =
pour un cristal négatif.
Si maintenant nous passons aux axes de réfraction conique, l'angle [ï compris entre l'un d'eux et l'axe Z s'obtiendra aisément en remplaçant dans les équations a, />, c par , .- et — ou par n^^ n^ et Tig, puis a par fj\ nous aurons:
80 Cristaux biaxes
sinV = —^ \, cosV= %i ^ et tangV = —, % •
En comparant les quantités tanga et tang/?, nous aurons enfin:
tga = tg/?/,
relation qui permet aisément de calculer l'angle des axes optiques ou celui de réfraction conique interne, si l'un des deux est connu.
Comme n^ < rig^ a sera toujours supérieur à /?, en outre a et (i étant comptés à partir de la direction w^, celle-ci sera bissectrice de l'angle aigu (i si ;*^,' — ii^* < rig* — n^* et bissectrice obtuse dans le cas contraire. Les formules donnant l'angle des axes peuvent être simplifiées considérablement si l'on remarque avec Mallard * que
7lg 7lj^ 7lp
fig — 7ip ;*„,
est sensiblement égal
ng — rip
vu les différences relativement faibles entre Ug, «^, n^, qui permettent cette approximation, les formules (1), (2) et (3) deviendront:
sm*a = '— cos'a — ^
ng — Uj, 7ig — Up
tangua = '^ -
L'angle compris entre l'un des axes optiques et la bissectrice aiguë, sera alors si le cristal est positif:
tangF-"/ "• "^P
et
tang T
" - îip
si le cristal est négatif.
Le tableau suivant, met en évidence la différence qui existe entre l'angle V^ des axes optiques et celui V^ de réfraction coniqne, on peut remarquer que l'écart entre les deux valeurs est généralement petit, mais peut atteindre plusieurs degrés chez des corps comme le soufre ou le sphène, dont les indices de réfraction très élevés présentent en outre entre eux un écart très grand.
1 E. Mallard, Traité de cristallographie 2. 1884, 116.
Réfraction et construction d'Huygens
Signe optiqae
fig
2Vo
Différence
Anhydrite <
Anglésite ^
Aragonite ^
Barytine *
Cérase *
DiopÂde ^
Gypse «
OliTine *
Orihose ?
ir 17 ,3
Soufre *
Sphène »
Acide tartnque ^
^ MOlhbims. s Arzroni. ^ Rudberg. * Schraof. & Des Cloizbaux. o Dufet. ^ Offrbt. 8 Bosz. ^ Kohlrausch.
