RÉFRACTION ET CONSTRUCTION D'HUYGENS
85. Cas général. La surface d'onde étant formée de deux nappes qui ne sont ni l'une ni l'autre sphériques, il est évident qu'un rayon incident donnera toujours deux rayons réfractés, polarisés rectilignement, et dont les vibrations sont toutes deux extraordinaires et à peu près perpendiculaires Tune sur l'autre. Ces deux rayons ne seront pas situés dans le plan d'incidence, car les points de contact entre les plans tangents et la surface de Tonde seront en général en dehors de ce plan.
86. Cas particuliers. Si le rayon est normal à la surface de séparation, les deux points de contact ne sont en général pas situés sur la normale, et les deux rayons réfractés s'écartent de celle-ci. Dans tous les cas, la direction des vibrations transmises par les rayons est celle de la projection de ces rayons sur le plan tangent mené au point où ils rencontrent la surface d'onde.
Lorsque le plan d'incidence coïncide avec l'une des sec- '^
tions principales, les deux rayons restent dans ce plan, et de plus l'un
Dnparc à PMurce I. ^
92 CHitanx biutes
d'eux devient ordinaire (fig. 106) puisque les points atteints dans ce plan au bout de l'unité de temps sont situés sur un cercle dont le rayon
sera selon les cas: v„ = — , v~,= — ou v- = Les trois sections
" "p' "* "m '' "ff
principales fournissent donc les trois indices principaux. Quant au rayon extraordinaire, sa vitesse change avec la direction du rayon incident et avec la section principale considérée. Lorsqu'il se propage parallèlement à l'un des axes de l'ellipsoïde, les ondes planes étant dans ce cas particulier normales aux rayons, il aura l'une des
trois vitesses - - =
— = n„ et ■-
, et nous aurons alors
pour les rayons extraordinaires trois indices, qui auront les mêmes valeurs que ceux des ordinaires.
87. Réfraction coniqne interne.' Lorsque le plan d'incidence coïncide avec la section principale VgVp, son intersection avec la surface d'onde sera un cercle et une ellipse, qui se coupent comme nous l'avons vu en quatre points.
De la droite B perpendicnlaire au plan d'incidence [&g.l07), nous pourrons généralement mener â la surface deux plans tangents distincts, dont les points de contact sontsur le cercle et sur l'ellipse. Il y aura également dans ce plan deux rayons réfractés distincts.
Cependant, pour une certaine position du rayon incident SA, la droite B aura une position telle que le plan tangent mené touchera simultanément le cercle et l'ellipse dans le plan d'incidence, aux points P et R, et la surface d'onde elle-même suivant un cercle de diamètre PR passant par ces deux points, et dont le plan est perpendiculaire à celui de la figure. Comme d'après la construction d'HuYCENS, â chaque poinl de contact du plan tangent et de la surface d'onde correspond toujours un rayon réfracté, nous aurons donc une infinité de rayons formant un cône creux ayant A pour sommet et le cercle PR pour base. Ce phénomène curieux porte le nom de réfraction conique interne. Comme le rayon AP joint le centre d'un cercle
' Hamilton, Trans. Irish Acad. 17. 1837. 134. Lloyd, id, 145.
Fig. 107.
Réfraction conique
avec le point où il est rencontré par le plan tangent BPR, il est évident que Tonde RP lui est perpendiculaire. Tous les rayons situés sur le manteau du cône ont la même onde plane RP, mais sont polarisés dans des plans différents. On peut trouver la direction de vibration de tous ces rayons en les projetant sur leur onde commune. Ces projections forment un système de droites qui se coupent toutes au point P, qui est la projection d'un rayon normal à Tonde (fig. 108). Si Ton construit des plans perpendiculaires à ces vibrations, ils passeront tous par le rayon lumineux OA normal à Tonde, on a ainsi les plans de polarisation de Tonde pour tous les rayons transmis. Tous ces plans de polarisation de Tonde commune se coupent selon AP, qui sera donc une direction capable de transmettre une onde quelle que soit sa polarisation, c'est-à-dire un axe optique.
Il résulte pratiquement de la réfraction conique interne, que le cône creux de rayons qui se forme dans une lame cristalline par suite de ce phénomène, donnera naissance à la sortie de celle-ci à un cylindre creux de rayons lumineux (fig. 109), si les faces de la lame sont parallèles.
Fig. 108.
Fig. 109.
Fig. lia
88. Réfraction conique externe K Considérons maintenant un rayon qui se propage selon la direction de Taxe de réfraction conique interne AK (fig. 110). A celui-ci correspondent une infinité d'ondes planes diversement orientées, et polarisées également dans des plans différents. Le point ombilical par lequel passe Taxe de réfraction conique, admet en effet une infinité de plans tangents, et si Ton abaisse du centre de la surface d'onde des perpendiculaires sur chacun d'eux, on obtient de la sorte un cône formé par les normales à ces ondes planes.
1 F. E. Neumann, Pogg. Ann. 33. 1834, 257.
84 Cristaux biaxes
La projection sur chacune de ces ondes, du rayon AK correspondant, définit la direction de la vibration, et le plan passant par la normale à l'onde et la perpendiculaire à la vibration sera le plan de polarisation.
Appliquons maintenant la construction d'Huygens pour examiner ce qui se passe à l'émergence. Comme à l'axe de réfraction conique
correspond une infinité d'ondes planes diversement orientées, leur intersection avec le plan réfringent fournit une infinité de droites ayant des positions et des orientations différentes. Par chacune d'elles il faudra mener un plan Fig. 111. tangent à la surface d'onde sphérique du
deuxième milieu supposé isotrope, et les points de contact seront situés sur un cercle. On aura ainsi un cône creux de rayons émergents à l'extérieur du cristal (fig. 111).
89. Prisme d'orientation quelconque. Si l'on fait pénétrer dans un prisme d'orientation quelconque un rayon lumineux, on obtiendra toujours deux rayons réfractés, qui seront tous deux extraordinaires, et ne restent ni l'un ni l'autre dans le plan d'incidence. Le raisonnement fait à propos du rayon extraordinaire des cristaux uniaxes s'applique ici également aux deux rayons réfractés. A l'émergence, ces rayons se propagent dans l'air parallèlement au plan d'incidence. Les formules indiquées précédemment (a. 67, p. 59) s'appliquent également ici, et nous montrent que l'on pourrait, le cas échéant, évaluer les trois indices principaux par la détermination d'un nombre suffisant de points de la surface des vitesses normales. Ces points s'obtiendront en tirant des formules données l'expression de F, qui est celle de la vitesse de propagation de l'onde qui chemine normalement à une droite faisant dans l'intérieur du prisme un angle r avec la normale à la face d'incidence
smt = ^ smr.
Cette vitesse s'obtiendra pour différentes directions en faisant varier l'angle d'incidence i, et en mesurant la déviation D qu'éprouve chacun des deux rayons réfractés.
90. Prismes d'orientation déterminée. Il est évident que le problème se simplifie considérablement si l'arête du prisme est parallèle à un
» Th. Liebisch, N. Jahrb. f. Min. 1. 1886. 23. Physikalische Krystallographie. Leipzig 1891. 376.
Rétraction dans les prismes
axe principal de l'ellipsoïde , ou encore si l'un des plans d'élasticité principaux bissèque l'angle réfringent.
a) Uarête du dièdre est parallèle à lui axe principal de VcUips&ide, Le plan d'incidence est alors parallèle à une section principale, l'un des rayons devient ordinaire et se propage avec une vitesse constante, qui sera selon les cas i'^, v„^ ou t'^. La vitesse du rayon ordinaire est toujours celle représentée par l'axe de l'ellipsoïde parallèle à l'arête réfringente. De plus ce rayon est polarisé, comme l'on sait, dans le plan principal qui contient la direction de propagation, ce sera donc le plan d'incidence; le rayon vibre lui-même parallèlement à l'arête du prisme, considération qui permettra de distinguer le rayon ordinaire de l'extraordinaire, qui lui, vibre dans le plan d'incidence.
A la déviation minima, nous aurons pour le rayon ordinaire:
sm
sm--
et la valeur de n sera, selon l'orientation du prisme, égale à tig, Up ou n^.
En faisant varier l'angle d'incidence, le rayon extraordinaire pourra également passer par un minimum de déviation lorsque l'onde plane est parallèle au plan bissecteur A A' (fig. 112), mais comme le point de contact n'est pas à l'intersection de la surface d'onde et d'un axe principal, la déviation minima obtenue ne correspondra pas à celle d'un rayon extraordinaire ayant une des trois vitesses principales.
On voit donc en résumé, que les trois indices principaux seront obtenus par la déviation minima du rayon ordinaire, au moyen de trois prismes différents, dont l'arête réfringente est respectivement parallèle aux trois axes Vg, r^ et Vp de l'ellipsoïde direct. Le rayon ordinaire se distinguera de l'extraordinaire par l'orientation de son plan de polarisation, qui coïncide toujours avec le plan normal à l'arête réfringente du prisme.
b) Vangh réfringent est bisséqué par un plan 2>rincijxiL Les indices définis par la déviation minima des rayons ordinaire et extra-
Cristaux biazes
ordinaire sont tous deax principaux, car les ondes planes transmises dans ce cas étant alors parallèles «'fig. 113; à une section principale
sont tangentes à la surface d^onde aux points où elle est rencontrée par Taxe principal perpendiculaire au plan AA\ Ces deux ondes, normales aux rayons lumineux correspondants, se propagent alors avec des vitesses mesurées par les segments oa et ob, qui représentent
selon les cas VpV^,
V„^Vg ou VgVp,
Deux prismes différents taillés de la façon qui vient d'être indiquée, fournissent donc les trois indices principaux; la valeur de Tun d'eux se retrouvera sur les deux prismes.
91. Incidence normale. Le raisonnement développé à propos des cristaux uniaxes a. 69, p. 62 s'applique ici entièrement, lorsque le rayon incident pénètre dans un prisme normalement à une face qui est parallèle à un plan principal de l'ellipsoïde. Deux ondes planes tangentes aux surfaces d'onde aux points rencontrés par le rayon incident, se transmettent normalement à celui-ci avec des vitesses différentes, qui correspondent toujours à deux des trois vitesses principales, car le rayon lumineux se propage dans la direction d'un axe de symétrie optique. Les indices qui satisfont à la condition:
sin(^4-JP) sinJ.
seront toujours principaux, et les trois indices seront déterminés au moyoïi de deux prismes, dont l'une des faces doit être parallèle à l'un ou à l'autre des plans principaux de l'ellipsoïde.
§ 8. RÉFLEXION TOTALE.i
92. Section d'orientation quelconque. Les rayons incidents qui peuvent subir le phénomène de la réflexion totale, sont limités, dans le cas d'une section quelconque, par deux cônes dont les génératrices font avec la normale des angles 0 qui varient avec l'orientation du plan d'incidence.
1 Cn. SoRET, Compt. rend. Acad. se. Paris 1888. 106, 176, 479. Arch. Se. phys. et nat. 20. 1888. 2(>;^. Tu. Liebisch, N. Jahrb. f. Min. 2. 1885. 198; 2. 1886. 49, 68. Physikalische Krystallojçraphie. Leipzig 1891. 404. Lwenir, Bul. Soe. Miner, de Fr. 14. 1891. 100.
RéHesion totale
Nous avons vu (a. 71, p. 62) ù propOfi de la réflexion totale des rayons extraordinaires des cristaux uniaxe;^, que l'équation:
n, siaO= ii, =
Fig. 114.
S deux courbes, lors-
esprime, à l'aide de 0, la vitesse de déplacement V de la trace de l'onde plane dans le plan réfringent. Le vecteur AB (Rg. 114) est proportionnel à V, et trace comme on l'a vu, la podaire de l'intersection de la surface d'onde avec le plan réfringent.
L'intersection de la surface d'onde avec le pian de séparation fournira deux courbes convexes, lorsque la section ne passe pas dans le voisinage des ombilics; dans les cas contraire, l'une des courbes seulement est convexe, c'est l'intersection fournie par la nappe interne; l'autre offre évidemment deux points d'inflexion, qui se confondent pour devenir un point double pour I que le plan passe au point ombilical.
La surface d'onde étant centrée, ces courbes qui sont du quatrième degré, le sont également, et chacune d'elles présente deux valeurs maxima et minima par lesquelles passe le rayon vecteur q qui joint leur centre avec un point quelconque. Ces quatre valeurs de ç sont (lig. 115) celles maxima et minima que peuvent prendre les vitesses de propagation des rayons qui cheminent dans le plan de la lame. La plus grande et la plus petite de ces quatre valeurs, ainsi que l'une des deux moyennes sont des vitesses de propagation principales, comme il est facile de s'en convaincre par le raisonnement suivant:
Une section faite dans la surface de l'onde par un plan diamétral quelconque, rencontrera toujours dans les trois plans principaux, des cercles de rayon ^-V/i "m fit' "pi fit les droites 00, OM, 01', qui, dan.s le plan de la section, joignent avec le centre de la surface d'onde les trois points d'intersection de ces cercles, weront les vitesse.i principales. Par conséquent, deux d'entre elles correspondent aux maxima et minima de l'une ou de l'autre deH deux courbcH d'intersection découpéeis dans la surface d'onde par le plan de la plaque. Remarquons également que les maxima et minima des deux courbes d'intersection que fournirait
gg Criatans bûzes
ane section de même orientation avec les autres surfaces à deux nappes, seraient situés sur les mêmes droites, car les cercles de rayon Vg, ï-„, et Vp des trois plans principaux, se retrouvent dans ces surfaces
avec les mêmes rayons, ou avec des rayons réciproques — , — et ■
*'g ^m *•> Suivant les trois directions considérées, les rayons lumineux et les normales aux ondes planes se confondent, et celles-ci se transmelteot avec la même vitesse que les rayons.
Une autre méthode de raisonnement peut également conduire au même résultat. Soit (Fig. 116j Vg, v^ et v- les projections stéréographiques des axes de l'ellipsoïde direct sur le plan réfringent, et O celle de la normale & ce dernier.
Les vitesses des rayons lumineux qui se propagent dans une direction quelconque OD du plan, sont données par les axes des sections elliptiques faites dans l'ellipsoïde par un plan diamétral tel qaeiîiZ' normal à la direction donnée. Il est évident que pour chacune des trois directions OJH, 00 ei OP, le plan normal contiendra un des Fig. 116. axes principaux de l'ellipsoïde, ces
directions seront celles des maxima e mininia des courbes d'intersection du plan réfringent avec n'importe laquelle des surfaces à deux nappes. . Parmi les quatre valeurs maxima, l'une est donc égale à f « ^ — , 1 1 **P 1 autre à rp = -, la troisième à v^ = — ; quant à la quatrième,
elle ne peut évidemment correspondre à une vitesse principale et
sera iv ^ — , elle est fournie par une ellipse dont les axes sont
respectivement parallèle et perpendiculaire au plan de ta lame. La direction perpendiculaire & cette section diamétrale, correspond à un maximum ou minimum de la courbe d'intersection (où la tangente est perpendiculaire au rayon vecteuri, car la normale k la surface d'onde se projette, ainsi que nous allons le voir, sur son prolongement. Chacun des points de la surface d'onde peut être considéré comme obtenu par le raballemont des axes des ellipses des sections diamétrales sur leur normale, et si nous envisageons la normale à l'elUpsoïde au point où il est rencontré par un de ces axes,
Réflexion totale 89
celle-ci est eDtralQée dans la rotation et devient par le rabattement, une Dormale & la surface d'onde. Si nous appliquons ce résultat au cas qui nous occupe, nous voyons que le rayon, normal à la section elliptique dont l'un des axes est perpendiculaire au plan réfringent, fournit l'indice intermédiaire »^, car si on rabat sur celui-ci l'axe vertical de l'ellipse, la normale à l'ellipsoïde qui deviendra celle à la surface d'onde, se projette sur la direction de propagation, puisqu'elle est contenue dans un plan passant par celle-ci et la normale à la lame.
Les podaires passent par des miixima ou minima suivant les mêmes directions que les courbes d'intersection, car suivant celles-ci les rayons transmis sont normaux aux ondes planes ou à leur trace, et le point B de la podaire se confond avec celui R de la surface d'onde (Fig. 114).
Les angles 0 que font les génératrices des deux cônes avec la normale à la section, passent par des maxima et minima en même temps que le rayon vecteur g des courbes d'intersection de la lame avec la surface d'onde. Les quatre valeurs &„, 6^, 0„ et 0^ définissent d'après l'équation
■«, sin 0 = »,
qaatre indices de réfraction, dont trois sont les indices principaux ttg, «„ et Hp et le quatrième n, possède une valeur intermédiaire entre jtg et «j,, supérieure ou inférieure à «„, dont le calcul sera d'ailleurs aisé à faire.
Soit en effet a, /3 et y les angles de la normale â la section avec les trois axes x, y ei x- de l'ellipsoïde. L'équation de celui-ci est:
: «p' fm' *ff*
et Dous avons :
X = ç cos a y'z= ç cos /3 x ^ ç cos y .
Mais ç = Vy-, remplaçant dans l'équation ci-dessus, nous aurons:
cos' g C03*j!f cos' y 1 , ,
La théorie exposée s'applique également au cas où le plan réfringent passe dans le voisinage des points ombilicaux.
Si l'on observe à l'aide d'une lunette convenablement disposée les rayons réfléchis par une plaque orientée d'une manière quelconque, le champ sera Fig. 117.
divisé en trois parties inégalement éclairées, et si l'on tourne la plaque dans son propre plan, on verra les deux limites se déplacer simultanément, et chacune d'elles osciller pour une rotation
Cristaux biaxes
de 2jt entre deux positions extrêmes qui correspondent aux maxima et minima de 6 (fig. 117].
93. Sectwn voisine du point ombilical. Si la section passe dans le voisinage du point ombilical le phénomène se complique alors, et les limites qui séparent les trois parties éclairées du champ présentent la disposition indiquée (fig. 118). Celle-ci est due au fait que l'intersection de la face réfringente avec la surface d'onde donne une
Fie- 118.
Fig. 119.
Fig 1»
courbe convexe, et une autre à deux points d'inflexion (fig. 119). Il y aura quatre valeurs diflérenles 0^, 0^, d, et d, de l'angle d'incidence pour lesquelles le phénomène de réflexion totale pourra se produire. D'autres rayons incidentij faisant avec les normales des angles compris entre ff^ et ô, ou ff, et d, etc. fournissent des rayons réfractés selon que le point de contact avec la surface d'onde se trouve au dessous ou au dessus du plan réfringent. Il en résulte par conséquent la disposition indiquée (Fig. 118). Si la section passe par le EOmmet du point ombilical, la limite ab se confond avec celle cd du croissant, et le champ de la lunette présentera l'aspect que montre la (fig. 120). 94. Sections d'orientation déterminée. Section paraUiie à un plan principal: L'intersection de la surface d'onde avec le plan réfringent donne toujours un cercle de rayon Vg, v„ OU Vp, et une ellipse dont les deux axes sont égaux à deux des vitesses principales. Les rayons totalement réfléchis sont limités par deux cônes; l'un d'entre eux est cirp. jgj culaire, et sa génératrice fait avec
la normale à la section un angle $„ (fig. 121). L'indice it^ de réfraction qui répond à la condition:
I Up, selon que celle-ci est normale à h„,
Orientation optique et dispersion 91
Les génératrices du second cône font avec la normale des angles 0 variables, dont les maxima et minima définissent deux des indices principaux.
Une section parallèle à un plan de symétrie, fournit en résumé les trois indices principaux, et l'un d'entre eux se retrouve deux fois.
