Discussion de la formule

P Cas général. Si les niçois sont placés dans une position quelconque, et si leurs sections principales font entre elles un angle a,

on voit que pour une valeur donnée du terme sin* - e [Ug — nJ) la

^. talour dé I dépend de 0. Lorsque

}: ' sin2(* — a)sin2/9 = 0,

06 qui arrive lorsque 5 = a, ou ^ = a -h -^, c'est-à-dire lorsque l'un

des ftxes d'élasticité de la lame devient parallèle ou perpendiculaire à la section principale de l'analyseur, ou bien encore lorsque

0 = 0 ou ^ = -^ ,

Intensité de la lamière transmise 177

c'est-à-dire lorsque rig ou n^ sont parallèles ou perpendiculaires à la section principale du polariseur; tout se passe dans ces deux cas comme s'il n'y avait que le polariseur et l'analyseur seul.

2° Cas des niçois croisés. Nous aurons dans ce cas a =-s-; et la

formule générale devient:

Iz= a} sin*2S ^^^*X ^ ^^9 ~~ ^V)*

L'intensité lumineuse dépend comme dans le cas précédent, du produit de deux termes, qui peuvent séparément passer par des maxima et minima. Nous allons donc examiner le rôle de chacun d'eux.

Supposons tout d'abord sin* y e [Ug — n^') > 0, condition qui sera

réalisée lorsque la lame introduit un retard différent d'un nombre pair de demi-durées d'oscillation. / dépend de S, et s'annule lorsque

0 = 0, -p-, Tc^ etc. ou d'une manière générale lorsque:

c'est-à-dire lorsque les deux directions Ug et n^' sont parallèles aux sections principales des niçois; ce sont les positions d'extinction.

I devient maximum lorsque

sin«2(9 = l,

c'est-à-dire lorsque les lignes d'extinction sont placées à 45° des sections principales des niçois.

Examinons maintenant le rôle que joue le terme sin' -^e (t?^^' — n^)\

nous attribuerons à a*sin'26^ une valeur arbitraire, i" par exemple, ce qui suppose la lame placée dans une position quelconque. Nous aurons alors:

I^= K sin'-.- e in' — n') , L'intensité de la lumière transmise sera maximum lorsque:

c'est-à-dire lorsque le retard introduit par la lame est égal à un nombre impair de demi-longueurs d'onde.

Duparc & Pearce I. 12

178 Lumière parallèle

I s'annule au contraire si

sin* ^-e(»/ — Wp')=0, c'est-à-dire si

en d'autres termes si le retard est égal à un nombre pair quelconque de demi-longueurs d'onde.

3° Cas des niçois parallèles. L'intensité lumineuse sera exprimée par la formule:

I = aWl — sin« 2 d sin* -J e [n^' - nA .

Elle est maximum pour une valeur quelconque du retard différente

de zéro, si

6 = 0, 90°, 180° etc.

et minimum, sans devenir nulle, cependant lorsque 0 = 45°, 135° 225° etc. ou d'une manière générale si

/ ne s'annule que lorsque

sin*2e sin«y e (Ug' — n^') = 1.

Ce qui sera- le cas par exemple, lorsque nous aurons:

sin*2» = 1

et

cm* . -o Inr^

sin* '7 « K' — ^p') = 1 ,

c'est-à-dire lorsque les directions Ug et n^ seront à 45° de la section principale du polariseur, et que le retard e [rig — n^) introduit est égal à un nombre impair (2n + l) de demi-longueurs d'onde, soit:

c(n/ — 7^p') = (2w + l)Y• 169• Yériflcation expérimentale. Les phénomènes indiqués ci-dessus se laissent facilement vérifier par l'expérience; il suffit pour cela de prendre une lame de quartz taillée en biseau parallèlement à l'axe optique 7ig (fig. 225). On introduit cette lame entre les niçois croisés, de façon à ce que sa direction Ug soit à 45° de leurs sections prinles PP' et A A', et on fait varier à volonté le retard -B en déplaçant

pales j

PolariuUoD chromatique 179

le biseau de quartz parallëlemeDt à son axe, car ce relard est proportionnel à l'épaisseur e connue l'on sait.

En lumière monochromatique, l'introduction de la lame de quartz rétablit tout d'abord la lumière dans l'appareil, avec un maximum d'intensité pour Jï = ^L Une augmentation du retard obtenue par un déplacement convenable du biseau de quartz, amène une première frange obscure qui correspond à un minimum d'intensité lorsque R = 2JA. Celleci sera suivie à son tour par d'autres franges obscures, pour des relards correspondant & |A, ^l etc., tandis qu'aux Fig. 226. positions JA, $i etc. apparaîtront des franges lumineuses qui correspondent aux maxiraa d'intensité (fig. 226]. Si l'on fait tourner maintenant cette lame dans son propre plan dans l'une des situations où elle rétablit la lumière, on pourra constater qu'elle présente quatre positions d'extinction à 90 degrés les unes des autres. Aux niçois parallèles on verrait de même que lorsque l'axe du quartz est placé à 45° des sections principales, les franges obscures appa- Fig. 226. raissent lorsque les retards atteignent

un nombre impair de \L Une frange lumineuse quelconque obtenue entre les niçois croisés pour une position déterminée de la lame de quartz, se transformera donc en une frange obscure, si les sections principales des niçois deviennent parallèles, et vice-versa.

g 3. ACTION D'UNE LAME BIRÉFRINGENTE EN LUMIÈRE BLANCHE. POLARISATION CHROMATIQUE.

170. Coloration de la lumière transmise. Plaçons maintenant une lame biréfringente entre les niçois croisés, en éclairant le microscope avec de la lumière blanche. Il y a toujours rétablissement de la lumière lorsque les axes Ug' et Mj,' de la lame sont disposés obliquement par rapport aux sections principales, mais la lumière rétablie présente en général une coloration qui dépend du retard introduit par la lame sur la marche des rayons. Cette coloration ne varie pas lorsqu'on tourne la plaque dans son propre plan, par contre l'intensité lumineuse est maximum lorsque les axes ng' et np' sont à 45" des sections principales du polariseur et de l'analyseur; elle est nulle lorsque ces axes deviennent parallèles à celles-ci, à la condition toutefois que

180 Lumière parallèle

le corps ne présente pas le phénomène de la dispersion cristalline. Si plaçant la lame dans une position quelconque, on tourne l'analysenr, la teinte transmise change, et devient complémentaire de celle observée aux niçois croisés, lorsque ceux-ci sont parallèles.

Soit R la valeur du retard introduit par la plaque, les radiations pour lesquelles nous aurons avec les niçois croisés:

interféreront négativement si n est pair, et positivement si n est impair. Comme toutes les radiations visibles ont des longueurs d'onde différentes, il s'ensuit qu'un retard donné déterminera simultanément l'interférence négative d'une ou de plusieurs de ces radiations qui seront détruites, et l'interférence positive d'autres radiations qui seront de la sorte renforcées. La lumière rétablie sera nécessairement colorée, et sa couleur dépendra de la nature des radiations transmises. Avec les niçois parallèles, la teinte de celte lumière sera complémentaire de celle obtenue avec les niçois croisés; en effet les radiations qui interfèrent positivement dans le premier cas, interfèrent négativement dans le second et vice-versa. Examinons maintenant les conséquences pratiques d'une variation du retard iï, que nous pouvons déduire de l'examen du tableau ci-joint, où figurent des multiples, 1, 2, 3 etc. de JÂ pour les raies suivantes du spectre:

A rouge / = 760 ,c( ,« F bleu X = 486 fî ii

C orangé >. = 656 ^ ^^ O indigo A = 430 . .

D jaune A = 589 s , H violet A = 396 . • b vert ). = 517 . >

Si

48li

im

171. Teintes sensibles et ordres de Newton. Prenons tout d'abord

ce retard égal à une fraction de longueur d'onde du violet par

|i|(?, il représente évidemment une fraction encore plus petite

]M)ur les autres couleurs. Dans ces conditions, les choses se

lonl à peu près comme si R était nul, et toutes les couleurs

Polarisation chromatique 181

interféreront sensiblement négativement; il n'y aura donc pas de rétablissement de la lumière entre les niçois croisés.

Faisons maintenant B = ^l pour le violet, soit 200 £/..«. environ; cette radiation interfère positivement, tandis que les autres sont transmises avec des intensités variables, qui dépendent de leur différence de phase. Les radiations voisines du rouge sont à peu près complètement détruites, et la lumière prend alors une teinte grise violacée, qui évolue vers le gris blanc, puis vers le jaune, lorsque le retard devient égal à |A pour cette couleur qui interfère alors positivement. En augmentant encore le retard, B devient égal à 380 ^./.i. environ, ce qui correspond à peu près à ^Â pour le rouge et h 2\l pour le violet; la première de ces deux couleurs interfère positivement, la seconde est détruite par interférence négative. La couleur transmise sera jaune rougeâtre, puis le retard continuant à augmenter, elle passera au rouge franc, puis au violet pour E = 580 ^i.u. = |A jaune = f À violet. Avec R = 660 fi,f.i, la teinte vire au bleu par suite de l'interférence positive de cette couleur, suivie de la destruction de l'orangé; pour R = 750 //.<«. le vert succède au bleu, le rouge et le violet sont détruits, car R est sensiblement égal à À rouge, à |A, vert et JA violet. En faisant croître encore le retard, pour R = 900 ia^i. environ, celui-ci correspond à peu près à |/ jaune, h ^'/. bleu et à f A violet; la teinte passe alors au jaune, puis à l'orangé, au rouge orangé et enfin au rouge violet pour R= 1100 u.u, ce qui équivaut h ^k rouge, ^l jaune, |A bleu, f A violet et ainsi de suite.

Les couleurs qui s'échelonnent du gris au violet obtenu pour R = blb constituent ce qu'on appelle le premier ordre de Newton^ et la couleur violette qui correspond à ce retard est généralement désignée sous le nom de teinte sensible n^ I ou du premier ordre. Les couleurs qui forment le second ordre sont comprises entre le violet n^ I et le rouge violacé suivant pour lequel R = 1100 environ; ce rouge violacé s'appelle teinte sensible nP II ou de second ordre. En faisant croître encore les retards, on obtient de même un troisième et quatrième ordre; mais à mesure que R augmente les interférences se font de plus en plus nombreuses, et les teintes vont en s'affaiblissant graduellement pour passer au blanc d'ordre supérieur.

Le tableau suivant montre la succession des teintes que l'on obtient pour des retards croissants, aux niçois croisés ou parallèles. Les retards y sont exprimés en millionièmes de millimètre.

Quant au phénomène des extinctions, il persiste en lumière blanche comme en lumière monochromatique, si toutefois comme nous le verrons plus loin, le minéral ne possède pas de dispersion cristalline.

Lniniëre parallèle

sortie de celle-ci, vibrer en concordance de phase (fig. 221); les sections AA' et PP' étant croisées, les deux composantes oa' et ob' parallèles à la section principale de l'analyseur qui seules sont transmises, sont dirigées en sens contraire, et se détruiront par interférence négative. On verrait de même que si PP' est parallèle &AA!, les deux composantes oo" et ob" traversent l'analyseur et interféreraient positivement.

Hï6. Extinctions. Tournons maintenant la plaque dans son propre plan ; l'angle compris entre la section du polariseur et l'une des directions ng ou nJ change, et passe par

les valeurs o

'. etc. Les deux

axes de l'ellipse de section seront, dans ces diverses positions, parallèles aux sections principales des deux niçois, et la vibration incidente traversera la' lame sans subir de décomposition, puisqu'elle est parallèle à une direction d'élasticité. Elle arrivera sur l'analyseur sans altération, et y sera totalement arrêtée, puisqu'elle est perpendiculaire à sa section principale.

Dans les quatre positions où, pour une rotation de 360°, les axes n^ et Tïp' sont parallèles aux sections principales des niçois, la lumière n'est donc point rétablie entre les niçois croisés; ces positions sont appelées lignes ou positions d'extinction (fig. 222).

Fig. 222.

Si les sections principales des niçois étaient parallèles, les positions d'extinction deviendraient au contraire celles où l'intensité lumineuse possède sa valeur maximum, la vibration émanant du polariseur étant entièrement transmise à travers la plaque et l'analyseur.

Si la plaque découpe dans l'ellipsoïde une section cyclique, la vibration incidente peut alors se propager normalement à son plan quelle que soit sa polarisation (a. 42, p. 49]. Elle ne subira donc

Extinctions

aucune décomposition, et se transmettra sans altération à travers cette plaque jusqu'à l'analyseur, qui l'arrêtera si sa section principale AA! est perpendiculaire sur celle du polariseur FF\ et la laissera passer si au contraire A Al est parallèle à PF'. Il y aura donc obscurité complète de la lame entre les niçois pour toutes les positions dans le premier cas, et lumière permanente dans le second.

Les sections cycliques sont données par des plaques quelconques taillées dans un corps monoréfringent, et par les sections normales aux axes optiques des cristaux uniaxes et biaxes. Pour ces dernières, l'obscurité entre les niçois croisés n'est complète qu'à la condition que la lumière soit rigoureusement parallèle, ce qui n'est pas tout à fait le cas dans la pratique, de sorte qu'elles sont toujours très faiblement éclairées entre les niçois croisés pour toutes les positions. En outre l'obscurité absolue n'est également pas possible pour les sections, cycliques des cristaux biaxes par suite de la réfraction conique. Suivant la direction de l'axe optique, le cristal transmet en effet une onde unique, à laquelle correspondent une infinité de rayons situés sur le manteau du cône de réfraction conique interne, et polarisés dans des plans différents (fig. 223). A la sortie, ces rayons reprennent leur direction primitive, et forment un cylindre creux de rayons polarisés. Dans ces conditions l'extinction n'est plus possible, car il existe toujours des vibrations transmises polarisées dans des plans différents de celui de la section principale de l'analyseur.

En résumé, une lame biréfringente placée en lumière monochromatique entre les niçois croisés, rétablit la lumière si le retard qu'elle introduit sur la marche des rayons est différent d'un nombre pair de \l, et si les axes n^ et n^ de l'ellipse découpée dans l'ellipsoïde inverse sont obliques sur les traces des sections principales des niçois. Une rotation de la plaque dans son plan amène un changement dans l'intensité lumineuse, qui devient nulle dans quatre positions appelées «positions d'extinction», qui sont celles où les axes Ufl et n^ sont parallèles aux sections principales des niçois; ces axes s'appellent li^ms dexUrictim., Si les niçois sont parallèles l'introduction de la plaque biréfringente amène une diminution dans l'intensité lumineuse ; celle-ci peut être nulle pour une position quelconque des lignes d'extinction si le retard est égal à un nombre impair de -JÀ. Lorsque les axes n'g et /?> sont parallèles aux sections

Fig. 223.

Lnmière parallèle

dont le rôle se voit immédiatement sur la figure. Au moyen d'un petit levier, on peut appliquer sur une portion de cette fente un petit prisme de comparaison S, qui reçoit, à travers l'orifice l pratiqué dans le tambour, la lumière provenant d'une source déterminée.

La partie supérieure renferme un prisme d'AMici, que l'on peut, pour le réglage, plus ou moins incliner sur l'axe de l'appareil au moyen de lu vis P. La détermination de la position des raies obscures que l'on observe avec cet instrument, se fait au moyen d'une échelle M gravée sur verre, et éclairée par le miroir .0. On en voit l'image réfléchie par la face terminale du prisme en même temps que celle du spectre.

La graduation de l'échelle est faite en longueurs d'onde (flg. 229) d'après les déterminations d'ANosTRÔM, elle donne directement la valeur de l qui correspond à une raie obscure déterminée, si l'on a pris soin de régler préalablement l'appareil par le jeu de la vis P, de façon que la raie du sodium occupe la division 589 de l'échelle. La

Fig. 229,

mise au point de cette échelle se fait par un tirage, qui l'éloigné ou la rapproche de la lentille R; celle de la fente se fait par le déplacement de la lentille oculaire. Le réglage est convenable lorsque les lignes de Fraunhofer occupent toutes leurs positions normales sur l'échelle graduée, et lorsqu'on n'observe pas de déplacement parallactique en bougeant l'œil devant l'appareil. On peut adapter un polariseur au-dessus de l'oculaire lorsque cela est nécessaire.

Pour analyser les teintes de polarisation d'un minéral quelconque, il suffit de déterminer le nombre et les positions des bandes obscures qu'on observe dans le spectre obtenu, en examinant cette lumière avec l'oculaire qui vient d'être décrit; les longueurs d'onde qui correspondent aux radiations absorbées seront lues directement sur l'échelle graduée.

174. Extinctions, et rftle de la dispersion cristalline. Dans le cas où le minéral biréfringent présente la dispersion cristalline, les phénomènes qui se produisent en lumière blanche sont un peu différents de ceux qui viennent d'être décrits; il devient en particulier impossible d'obtenir l'extinction complète de la lame biréfringente pour une

Polarisation chromatique

rotation quelconque de celle-ci entre les niçois croisés. Ce phénomène a son origine dans le fait que les ellipsoïdes optiques ont une grandeur et une position différentes pour les diverses radiations visibles, de sorte que les axes des ellipses 7ig et n^ découpées par le plan de la lame dans ces ellipsoïdes, ne coïncident point (fig. 230). 11 en résulte qu'aucune rotation de cette lame dans son propre plan ne pourra amener l'extinction simultanée de toutes ces radiations, car si par exemple l'ellipse de section pour le rouge a ses axes parallèles aux sections principales des niçois, cette radiation sera éteinte, tandis que les autres pour lesquelles le môme phénomène ne pourra pas se produire passeront en partie, et auront à la sortie de l'analyseur une intensité qui dépendra du retard et de la position respective de leurs axes Ug et n^' par rapport à la section principale de ce dernier.

Si le plan de la lame biréfringente coïncide avec la section cyclique d'un minéral biaxe, celle-ci ne pourra jamais rester complètement éteinte entre les niçois croisés, car à cause du phénomène de la dispersion des axes optiques, cette lame ne pourra se trouver simultanément perpendiculaire aux axes optiques des différentes couleurs. Ce rétablissement de la lumière par les sections cycliques des cristaux biaxes, se fait d'ailleurs indépendamment de celui qui résulte de la réfraction conique (a. 82, p. 87).

175. Intensité de la Inmière transmise. L'intensité J d'un faisceau de lumière blanche étant égale à la somme des intensités des radiations visibles qui le composent, sera évidemment représentée par l'équation:

A la sortie de l'analyseur, l'intensité de l'une quelconque de ces radiations est, pour une position quelconque des niçois, donnée par la formule (a. 168, p. 176):

Fig. 230.

cos'a

sin2 [d — a) sin20 sin*-r- e (rig

dans laquelle a est l'angle formé par les sections principales des deux niçois, et 0 celui compris entre ng et la section principale du polariseur, pour la radiation considérée.

L'intensité totale de la lumière transmise sera donc:

1 = ^a^ cos*a — ^0} sin2(ô — a) sin2» sin*^e (w/ — n^')

en négligeant la dispersion cristalline, et en supposant 0 égal pour toutes les couleurs.

176 Lumière parallèle

puis

J= a* jcos [8 — a) cos 6 — sin [6 — a) sin 0\

— (sin 2 (» — a) sin 2 (9 sin* ~ e {rig' - Wp'))l et enfin

J= a* cos* a — sin2(0 — a) sin2d sin* — e (rig — n^) •

Dans les formules qui précèdent, erig et ewp' expriment les temps employés par les vibrations pour traverser la lame, et le terme e{ng — rip) représente leur différence de phase, ou ce qu'on appelle le retard R. Comme on prend la vitesse F de propagation dans l'air comme unité, R peut représenter la différence des trajets qu'efiectueraient dans l'air les deux mouvements (a. 164, p. 170). En outre r

étant lié à la longueur d'onde de la lumière par la relation F= — ,

puisque dans l'air on prend V= 1, il vient:

la longueur d'onde s'exprime alors par le même nombre que la période de l'oscillation. En tenant compte de ces observations, l'intensité lumineuse pourra être représentée par la formule:

I == a*| cos*a — sin2(6^ — a) sin2ô sin* -.- e (rig — Up) ,

qui a l'avantage de permettre d'exprimer les retards en fonction de la longueur d'onde de la lumière employée.