Discussion de la formule

P Ca^ général. Si les niçois sont placés dans une position quelconque, et si leurs sections principales font entre elles un angle a,

on voit que pour une valeur donnée du terme sin* — e [Ug — nJ) la valeur dé I dépend de 0. Lorsque

sin2((9 — a)sin20 =0,

ce qui arrive lorsque 0 = a, ou 0 = a + ~3~> c'est-à-dire lorsque l'un

des axes d'élasticité de la lame devient parallèle ou perpendiculaire à la section principale de l'analyseur, ou bien encore lorsque

0 = 0 ou e=^,

Intensité de la lamière transmifie 177

c'est-à-dire lorsque rig ou Wp' sont parallèles ou perpendiculaires à la section principale du polariseur; tout se passe dans ces deux cas comme s'il n*y avait que le polariseur et l'analyseur seul.

2® Cas des niçois croisés. Nous aurons dans ce cas a = ^ ; et la

formule générale devient:

I=a} sin*2e sin*y e [rig' — n^;).

L'intensité lumineuse dépend comme dans le cas précédent, du produit de deux termes, qui peuvent séparément passer par des maxima et minima. Nous allons donc examiner le rôle de chacun d'eux.

Supposons tout d'abord sin* -. e (Ug — Up) > 0, condition qui sera

réalisée lorsque la lame introduit un retard différent d'un nombre pair de demi-durées d'oscillation. I dépend de ^, et s'annule lorsque

c'est-à-dire lorsque les deux directions Ug et Up sont parallèles aux sections principales des niçois; ce sont les positions d'extinction.

/ devient maximum lorsque

sin*2» = l,

c'est-à-dire lorsque les lignes d'extinction sont placées à 45° des sections principales des niçois.

Examinons maintenant le rôle que joue le terme sin* ^-e [n-fl — rip) ;

nous attribuerons à a*sin*2ô une valeur arbitraire, ^ par exemple, ce qui suppose la lame placée dans une position quelconque. Nous aurons alors:

I = K sin* '.- e (/? ' — Up) .

L'intensité de la lumière transmise sera maximum lorsque:

MV-V) = 2(7^+l)-2-,

c'est-à-dire lorsque le retard introduit par la lame est égal à un nombre impair de demi-longueurs d'onde.

Dnparc & Pearce I. 12

J78 Lumière parallèle

I s'annule au contraire si

sin' y e [Ug' — n^) = 0,

c'est-à-dire si

e(ny — Wp') = 2w.-2-,

en d'autres termes si le retard est égal à un nombre pair quelconque de demi-longueurs d'onde.

3° Cas des niçois parallèles. L'intensité lumineuse sera exprimée par la formule:

J = oWl — sin» 2d sin* ^ e [n^' - nA .

Elle est maximum pour une valeur quelconque du retard différente

de zéro, si

6^ = 0, 90°, 180° etc.

et minimum, sans devenir nulle, cependant lorsque 0 = 45°, 135° 225° etc. ou d'une manière générale si

I ne s'annule que lorsque

sin*20 sin*-r-e [rig — rip) = 1.

Ce qui sera- le cas par exemple, lorsque nous aurons:

sin*2» = 1

sin

in* ye(7i/-.Wp') = l,.

c'est-à-dire lorsque les directions rig et rip seront à 45° de la section principale du polariseur, et que le retard e [rig — rip] introduit est égal à un nombre impair (2n+l) de demi-longueurs d'onde, soit:

e(ng'--np') = [2n+l)^^

169. Vérification expérimentale. Les phénomènes indiqués ci-dessus se laissent facilement vérifier par l'expérience; il suffit pour cela de prendre une lame de quartz taillée en biseau parallèlement à l'axe optique Ug (fig. 225). On introduit cette lame entre les niçois croisés, de façon à ce que sa direction rig soit à 45° de leurs sections prinpales PP' et AA\ et on fait varier à volonté le retard R en déplaçant

PoIaiiuUon chromatique 179

le biseau de quartz parallèlement à son axe, car ce retard est proportionnel à l'épaisseur e comme l'on sait.

En lumière monochromatique, l'introduction de la lame de quartz rétablit tout d'abord la lumière dans l'appareil, avec un maximum d'intensité pour B = ^L Une augmentation du retard obtenue par un déplacement convenable du biseau de quartz, amène une première frange obscure qui correspond à un minimum d'intensité lorsque R=2\X. Celleci sera suivie à son tour par d'autres franges obscures, pour des retards correspondant à |A, l-l etc., tandis qu'aux P*B- ^^■ positions jil, î^i etc. apparaîtront des franges lumineuses qui correspondent aux maxima d'intensité [fig. 226), Si l'on fait tourner maintenant cette lame dans son propre plan dans lune des situations où elle rétablît la lumière, on pourra constater qu'elle présente quatre positions d'extinction à 90 degrés les unes des autres. Aux niçois parallèles on verrait de même que lorsque l'axe du quartz est placé à 45° des sections principales, les franges obscures appa- Fig, 226. raissent lorsque les retards atteignent

un nombre impair de ^L Une frange lumineuse quelconque obtenue entre les niçois croisés pour une position déterminée de la lame de quartz, se transformera donc en une frange obscure, si les sections principales des niçois deviennent parallèles, et vice-versa.

§ 3. ACTION D'UNE LAME BIRÉFRINGENTE EN LUMIÈRE BLANCHE. POLARISATION CHROMATIQUE.

170. Coloration de la Inmière transmise. Plaçons maintenant une lame biréfringente entre les niçois croisés, en éclairant le microscope avec de la lumière blanche. Il y a toujours rétablissement de la lumière lorsque les axes iig' et «p' de la lame sont disposés obliquement par rapport aux sections principales, mais la lumière rétablie présente en général une coloration qui dépend du retard introduit par la lame sur la marche des rayons. Cette coloration ne varie pas lorsqu'on tourne la plaque dans son propre plan, par contre l'intensité lumineuse est maximum lorsque les axes n' et nJ sont à 45" des sections principales du polariseur et de l'analyseur; elle est nulle lorsque ces axes deviennent parallèles à celles-ci, à la condition toutefois que

Lnmière parallèle

sortie de celle-ci, vibrer en concordance de phase (fig. 221); les sections A^ et PP' étant croisées, les deux composantes oa' et ob' parallèles à la section principale de l'analyseur qui seules sont transmises, sont dirigées en sens contraire, et «c détruiront par

interférence négative. On verrait de même que si PP" est parallèle è,AA', les deux composantes oa" et ob" traversent l'analyseur et interféreraient positivement.

166. Extinctions. Tournons maintenant la plaque dans son propre plan; l'angle compris entre la section du polariseur et l'une des directions « ' ou nJ change, et passe par

les valeurs o

, 7t etc. Les deux

Fig. 222.

axes de l'ellipse de section seront, dans ces diverses positions, parallèles aux sections principales des deux niçois, et la vibration incidente traversera la lame sans subir de décomposition, puisqu'elle est parallèle à une direction d'élasticité. Elle arrivera sur l'analyseur sans altération, et y sera totalement arrêtée, puisqu'elle est perpendiculaire à sa section principale.

Dans les quatre positions où, pour une rotation de 360°, les axes m.' et Kp sont parallèles aux sections principales des niçois, la lumière n'est donc point rétablie entre les niçois croisés; ces positions sont appelées lignes ou positions d'extinction (fig. ',

Fig. 222.

Si les sections principales des niçois étaient parallèles, les positions d'extinction deviendraient au contraire celles oit l'intensité lumineuse possède sa valeur maximum, la vibration émanant du polariseur étant entièrement transmise à travers la plaque et l'analyseur.

Si la plaque découpe dans l'ellipsoïde une section cyclique, la vibration incidente peut alors se propager normalement à son plan quelle que soit sa polarisation (a. 42, p. 49). Elle ne subira donc

Extinctions

aucune décomposition, et se transmettra sans altération à travers cette plaque jusqu'à l'analyseur, qui l'arrêtera si sa section principale A A! est perpendiculaire sur celle du polariseur PT?*^ et la laissera passer si au contraire AM est parallèle à PP*. Il y aura donc obscurité complète de la lame entre les niçois pour toutes les positions dans le premier cas, et lumière permanente dans le second.

Les sections cycliques sont données par des plaques quelconques taillées dans un corps monoréfringent, et par les sections normales aux axes optiques des cristaux uniaxes et biaxes. Pour ces dernières, l'obscurité entre les niçois croisés n'est complète qu'à la condition que la lumière soit rigoureusement parallèle, ce qui n'est pas tout à fait le cas dans la pratique, de sorte qu'elles sont toujours très faiblement éclairées entre les niçois croisés pour toutes les positions. En outre l'obscurité absolue n'est également pas possible pour les sections, cycliques des cristaux biaxes par suite de la réfraction conique. Suivant la direction de l'axe optique, le cristal transmet en effet une onde unique, à laquelle correspondent une infinité de rayons situés sur le manteau du cône de réfraction conique interne, et polarisés dans des plans différents (fig. 223). A la sortie, ces rayons reprennent leur direction primitive, et forment un cylindre creux de rayons polarisés. Dans ces conditions l'extinction n'est plus possible, car il existe toujours des vibrations transmises polarisées dans des plans différents de celui de la section principale de l'analyseur.

En résumé, une lame biréfringente placée en lumière monochromatique entre les niçois croisés, rétablit la lumière si le retard qu'elle introduit sur la marche des rayons est différent d'un nombre pair de ^À, et si les axes rig et Uj^ de l'ellipse découpée dans l'ellipsoïde inverse sont obliques sur les traces des sections principales des niçois. Une rotation de la plaque dans son plan amène un changement dans l'intensité lumineuse, qui devient nulle dans quatre positions appelées «positions d'extinction», qui sont celles où les axes Ufl et n^ sont parallèles aux sections principales des niçois; ces axes s'appellent lignes ctextinction. Si les niçois sont parallèles l'introduction de la plaque biréfringente amène une diminution dans l'intensité lumineuse; celle-ci peut être nulle pour une position quelconque des lignes d'extinction si le retard est égal à un nombre impair de \l. Lorsque les axes n'g et np sont parallèles aux sections

Fig. 223.

Lumière parallèle

cos (ô, — (9,) cosô, sinôj cos — (Ci»g' + «j»/)

— sin [0^ — 6^,) sin6^^ sin^^ cos - - [e^n^ + e^w^')

— cos (©, — ^^) sinôj cos 6^, cos — («i ^p' + ^i ^p")

— sin (0^ — ôj) cos<9^ cos^, cos — {e^ng + e^Up")

cos{0^ — ÔJ cosôj sin©, sin — («i^/ + ^«^/)

— sin(é^, — ^^) sinO^ sin6^j sin — K^/ + ^«^/)

— cosfô, — ^^) sin 6/^ cos 6^4 cos — (^i Wp' — «t^p")

— sin (6^, — 0^) cosO^ cos 6^, sin"^ [e^rig + e^np")

Cette équation est susceptible d'une transformation profonde , et devient, si Ton désigne pour simplifier l'écriture par B^ = Ug — n^ et J5, = Ug — rip les biréfringences des deux lames et en remarquant encore que dans l'air onaF=letT = À:

(1) 7 = — sin2(ô, — e^) sin2(?, cos26/, sin* -^ e, B,

+ sin2{(^, — e,) COS20J sin2ô, sin« . e^B^

ÎT

+ cos*(0, — 0,) sin2/9, sin2/9, sin''-r-(e,J5, +c,£,)

— sm*(Ô, — 0,) sin 2 (9, sin 2 (9, sin*^(e,B, — e,i?,).

L'intensité de la composante perpendiculaire transmise aux niçois parallèles est la complémentaire, et sera, puisque /+/' = !.

(2) /' = + sin2(ô, — e,) sin2e, cos2e, sin« ^ e,B,

— sin2((?, — 0,) cos20, sin2ô, sin*y e^B^

— cos*(0, — 0,) sin 2 6^^ sin 2(9, sin*^ [e,B, + e,£J

+ sin*(<9, — 6»,) sin2ô, sin2<9, sin'-^ {e,B^ — e^^,).

Ces équations nous montrent tout d'abord qu'en général l'ordre de la superposition des lames n'est pas indifférent, car si on remplace

Superposition de deux lames cristallines d^orientation quelconque 193

B^ par B^ ou vice-versa, on obtient des résultats qui varient De plus le système ne peut se comporter comme une lame unique, car il n'est pas possible d'annuler les quatre termes de l'équation simultanément par la variation de 6^^ 0^ — 0^ restant constant et différent

de 0 ou de ^- • Si les sections principales des deux lames deviennent parallèles, 0^ — 0^ =0; ^/ et Ug' se superposent, et on aura ainsi:

I = sin«2ô sin« -J [e, [n^ - n^;) + e, (n/ - Wp")] ,

le système se comporte alors comme une lame unique, dont le retard est égal à la somme de ceux de chacune des deux lames.

Si 0^ — ô, = ^- , Ug de la première lame est parallèle à rip de

la seconde, il vient alors:

/ = sin«2Ô sin« ^ [e, (Ug - n^') - e, (n/ - V')]-

Le système se comporte de nouveau comme une lame unique, dont le retard R est égal à la différence r^ — r, de ceux des deux lames. L'équation (1) qui donne l'intensité lumineuse de deux lames superposées, placées entre les niçois croisés, et orientées d'une manière quelconque, peut être mise sous une forme intéressante. Pour cela il faut rapporter la position du système à la bissectrice de l'angle aigu 0^ — 0^ compris entre les deux directions Ug' et ng\ 6^ — ^^ est

par définition, inférieur à -^ • En désignant par ç? l'angle que fait

cette direction avec la section principale du polariseur, et en posant pour simplifier:

sin2(&, - (9J sin* ~e,B,=K sin2((?, - ÔJ sin* ^ e^B^ = K'

cos« («9, - 6»,) sin* y (e,£, + e,-B,) = K"

sin» (0, — (9, ) sin* -.- (e, 5, - e, 5,) = E

il vient après calculs faits:

+ [K" — K'") sin*2</> + X, {K+ K') sin4(6», - »,)

- (K" - K'") sm''2(e^- ex

Daparc ts Pearce L 13

Lumière parallèle

formule dans laquelle l'intensité lumineuse dépend d'un angle variable unique 9; ce qui permet de construire la courbe qui représente cette intensité en fonction de cet angle (fig. 233). Cette équation est de la forme:

/=^sin4f/) + J5sin«2y)+ C,

dans laquelle A, B et C sont des constantes dont les valeurs sont définies par les équations (3) et (4). Les ordonnées de la courbe I sont les sommes algébriques des ordonnées des deux autres courbes A sin4qp et J5sin2r/) et de C.

Asin^(p est une sinusoïde rencontrant la droite parallèle à l'axe des x chaque fois que 4(p = tt = 27r etc. L'équation B sin*2gp donne une courbe à ordonnées toujours positives; quant à la courbe I,

éS*