MÉTHODE GRAPHIQUE POUR ÉVALUER LES ANGLES D'EXTINCTION

218. Principe de la méthode, ntilisation de la projection stéréographique. La méthode graphique pour calculer les angles d'extinction

Dnp&rc £ Pearce I. 16

242 Méthode graphique pour évaluer les angles d*extiiictioii

a été imaginée par M. Michel-Lévy; ^ elle permet de trouver aisément non seulement les angles d'extinction des différentes faces d'une zone, mais encore ceux de faces quelconques, lorsqu'on connaît la position qu'occupent les axes optiques dans le cristal considéré.

Cette méthode est basée sur le théorème de Fresxel et sur l'emploi de la projection stéréographique.

Nous savons que les directions des lignes d'extinction d'une lame sont celles des traces des plans bissecteurs des angles dièdres, obtenus en menant deux plans par la normale à la section et chacun des deux axes optiques. Soient A et B (fig. 278) les perspectives stéréographiques des pôles des deux axes optiques et P celui d'une section quelconque figurée elle-même par le cercle A'B'D, Les plans normaux à cette section que l'on devra mener par P et les deux axes optiques, sont les cercles A P et BP\ ils forment entre eux deux angles dièdres dont les

Fig. 278.

Fig. 279.

grands cercles CP et DP sont les plans bissecteurs (fig. 278). Les lignés d'extinction de la section considérée, seront donc données par les droites dont les pôles se trouvent en C et Z), aux intersections des cercles CP et DP avec celui A'CB'D qui représente la section. On peut alors évaluer l'angle que forme Tune de ces deux lignes avec une direction quelconque connue, figurée par son pôle x, cet angle est mesuré par un des arcs de grand cercle :rC ou xD.

Cette construction se simplifie considérablement si la section est parallèle au plan de projection. Dans ces conditions, les plans normaux passant par les axes optiques A et B, de même que les plans bissecteurs PCeiPD des dièdres qu'ils forment, sont représentés par des droites; l'angle d'extinction est alors mesuré en vraie grandeur sur lo cercle de base par l'arc compris entre Tune des lignes d'extinction PC ou PD^ et la direction xx/ choisie (fig. 279). Le signe dont l'extinction doit être affectée est directement visible sur la figure, il se compte

1 Â. Michbl-Lkvy, Études sur la détermination des feldspaths. I. 1894.

Méthode graphique pour évaluer les angles d'extinction

par exemple positivement dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, et négativement en sens inverse. Il reste à préciser celle des deux lignes d'extinction qui correspond à ng ou nJ\ pour cela, il suffit de se rapporter à ce qui a été dit antérieurement (a. 82, p. 76}; on sait en effet que «j,' est toujours contenu dans le même dièdre que celui où se trouve la bissectrice n^.

Les considérations qui viennent d'être exposées vont nous permettre de trouver très facilement la valeur de l'angle d'extinction d'une section dont le pôle P [fîg. 280) occupe sur la projection une position quelconque. Pour cela il y a, comme nous l'avons montré, avantage à faire coïncider le pôle avec le centre du cercle fondamental. On arrive à ce résultat par une rotation du pôle P autour d'un axe convenablement choisi, situé dans le plan de projection. Cet axe est évidemment perpendiculaire à la droite OP qui n'est autre chose que la perspective du grand cercle sur lequel le point P doit se mouvoir pour arriver en 0. L'angle

Fig. 280. Fig. 281.

de rotation sera mesuré sur le cercle de base par l'arc MP', que l'on trouvera suivant la méthode indiquée dans l'appendice relatif aux constructions de la projection stéréographique. La rotation imprimée au pôle P entraine évidemment un déplacement correspondant de l'ellipsoïde, ainsi que des axes optiques A et B. Ces derniers se meuvent sur deux petits cercles, dont les plans sont perpendiculaires à l'axe de rotation MM et viendront se placer en A et B\ lorsque P aura tourné de l'angle MP' pour arriver en 0 (fig. 280]. Pour les constructions à effectuer voir l'appendice, n" IX et suivants. Il ne reste plus qu'à mener, comme précédemment, les droites .i'O et S' 0, et â construire les bissectrices des angles qu'elles forment; ces dernières seront les lignes d'extinction et il suffira de mesurer sur le cercle fondamental l'angle compris entre elles et une direction XX' déterminée, contenue dans le plan de la lame et dont on devra connaître la position. Comme il importe de préciser celle de ces deux lignes qui correspond à ng ou

234 Mesure des angles d^extinction : Lames de Klein, de Bravais etc.

est placée dans ses positions d'extinction. Cet appareil a été modiflé par M' Brézina, qui, pour obtenir une plus grande sensibilité, emploie deux lames de calcite presque perpendiculaires, et superposées en sens inverse. Celles-ci fournissent une figure d'interférence plus complexe et plus aisément déformable. Ces appareils s'utilisent aussi bien en lumière blanche qu'en lumière monochromatique.

208. Emploi de la teinte sensible. On place entre les niçois et à 45° de ses extinctions, la lame de quartz ou de gypse donnant la teinte sensible n° I ou n° IL L'introduction d'une lame biréfringente sur le trajet des rayons modifie immédiatement la coloration de cette teinte sensible, qui réapparaît cependant lorsque la lame est placée exactement dans l'une ou l'autre de ses positions d'extinction. Il sera de la sorte très facile de déterminer exactement l'angle d'extinction, comme il a été indiqué précédemment. Pour bien pouvoir préciser la position où la teinte sensible réapparaît, il faut que le minéral ne recouvre pas la totalité du champ afin de permettre la comparaison des couleurs. Cette méthode est évidemment inapplicable avec les minéraux dispersifs, car elle exige l'emploi de la lumière blanche; elle perd beaucoup de sa sensibilité avec les minéraux colorés.

209. Lame de M. Klein. ^ Elle se compose d'une plaque de quartz de 3.75 millimètres d'épaisseur, qui est taillée normalement à l'axe optique. Par suite de la polarisation rotatoire de ce minéral, elle rétablit la lumière entre les niçois croisés, et donne en lumière blanche une teinte qui varie par rotation de l'analyseur.

L'introduction d'une lame biréfringente entraîne une perturbation dans la teinte primitive que l'on pourra rétabhr en plaçant une des lignes d'extinction parallèle à la section principale du polariseur. L'avantage de cette méthode sur la précédente consiste dans le fait que l'on peut, par une rotation convenable de l'analyseur, amener la plaque de quartz à présenter la teinte la plus favorable pour les mesures; elle est également inutilisable avec la lumière monochromatique.

210. Lame de Bravais. ^ C'est une lame teinte sensible, coupée en deux suivant une droite qui fait un angle de 45" avec ses lignes d'extinction. L'une des moitiés est retournée, et les sections principales de ces deux demi-lamelles sont ainsi placées à angle droit (fig. 268). Pour être employée plus commodément avec le microscope polarisant, cette lame teinte sensible est placée dans un

1 C. Klein, N. Jahrb. f. Min. 1874, 9.

2 Bravais, Compt rend. Acad. scienc. Paris 32. 112.

Mesure des angles d'extinction: Oculaire Bertrand et Caldéron

oculaire négatif dans le plan de l'image; elle y est orientée de façon

L section principi

à ce que la ligne de jonction soit parallèle du polariseur. Si, dans ces conditions, on surmonte cet oculaire d'un nicol analyseur, les deux moitiés du champ que l'on observe dans le microscope, présentent la même coloration. L'intercalation d'une lame biréfringente sur la platine du microscope fait virer la teinte au rouge pour l'une des moitiés du champ, et au bleu pour l'autre. L'uniformité de la coloration réapparaît après une rotation convenable de la platine, au moment où les lignes d'extinction «g ou n^ sont placées parallèlement à la trace du plan de jonction des deux lamelles qui fonctionne comme réticule.

211. Oculaire de Bertrand. ' Cet appareil [fig. 269) utilisé pour le réglage du microscope polarisant, a été en partie déjà décrit. Il se compose d'un oculaire négatif qui, dans le plan du diaphragme, possède une lame sensible formée par quatre secteurs de quartz taillés normalement à l'axe, dont deux sont dextrogyres et deux autres lévogyres (iîg. 270). Il s'emploie comme un oculaire ordinaire, et doit être surmonté d'un analyseur. Lorsque la section principale de ce dernier est parallèle ou perpendiculaire à celle du polariseur, les quatre secteurs présentent une coloration uniforme; l'intercalation d'une plaque biréfringente sur le trajet des rayons lumineux entraine un changement de la coloration, qui devient différente pour les quartz droits et gauches. Aux positions d'extinctions de la lame, les quatre secteurs redeviennent uniformément teintés.

Les plans de jonction des quartz dessinent dans le champ visuel deux droites perpendiculaires, qui remplacent le réticule des oculaires ordinaires, et doivent naturellement être placées rigoureusement parallèles aux sections principales des deux niçois.

Cet appareil qui est fort sensible, se prête très bien aux mesures des angles d'extinction en lumière blanche, mais it est également inutilisable avec la lumière monochromatique.

212. Ocnlaire de H. CaldéroB.^ Nous ne reviendrons pas sur cet appareil que nous avons déjà décrit. On le dispose sur le microscope

» E. Bertrand, Zeitsch. f. Kryst, 1. 1877. 69. 2 L. Caldéhon, Zeilsch. t. Kryst 2. 1878, 70.

Fig. 269. Oculaire

staurosco pique de

Bertrand

. FuEss, Berlin],

Fig. 270.

236 Extinctions dans les zones

de la même façon que Toculaire Bertrand, la lumière est alors légèrement rétablie, et présente une teinte grise uniforme sur toute l'étendue du champ. Si la lame cristalline que Ton étudie n'est pas placée à ses positions d'extinction, les deux moitiés du champ présentent une intensité lumineuse différente, que l'on peut facilement observer, puis faire disparaître par une rotation convenable de la platine, ce qui aura lieu au moment où ?i^' et Up de la plaque biréfringente deviendront parallèles à la section principale du polariseur. Avec cet oculaire, les mesures en lumière monochromatique sont possibles.

213. Réglage des ocnlaires stanroscopiqnes. Ce réglage s'effectue au moyen de la lame mince auxiliaire d'anhydrite, ou du cristal de mésotype que nous avons décrits précédemment (a. 161, p. 167). Après avoir croisé les niçois, on place cette lame auxiliaire sur la platine tournante, et Ton cherche sa position d'extinction. Celle-ci étant obtenue on dispose les traces des plans de jonction des lames sensibles de Bravais, Bertrand, ou Caldi':ron, parallèlement aux clivages rectilignes de l'anhydrite, ou à l'allongement du cristal de mésotype. Pour permettre cette opération, ces lames sensibles sont montées sur un tambour, glissant à frottement dur dans l'oculaire, que l'on peut mouvoir à l'aide d'une clef. Ce réglage doit être fait une fois pour toutes pour chaque oculaire stauroscopique.

§ 3. EXTINCTIONS DANS LES ZONES, i

214. Généralités. On donne le nom de zone à l'ensemble des faces naturelles ou artificielles d'un cristal qui sont parallèles à une même direction appelée axe de xone. Cette direction peut coïncider avec un axe de symétrie existant ou avec une direction d'allongement ou d'aplatissement marquée, elle peut également occuper une position quelconque. Lorsque cet axe de zone coïncide avec une ligne directrice visible (allongement, clivage etc.), il devient une direction très importante, à laquelle on pourra rapporter les propriétés optiques des différentes faces de la zone, notamment les extinctions. Nous allons donc examiner les méthodes qui permettent de rechercher les valeurs des angles d'extinction pour différentes faces appartenant à une même zone.

Remarquons tout d'abord avant d'examiner le cas général, que si l'axe de zone coïncide avec un axe de symétrie, toutes les extinctions des différentes faces de la zone rapportées à son axe seront nécessairement droites, c'est-à-dire parallèles à celui ci. Dans le cas contraire

1 A. MiciiEL-LÉvY, Ann. d. min. 12. 1877, 392—471. Les minéraux des roches. Paris. L. Duparg et F. Pearce, Zeitsch. f. Kryst. 42. 1906, 34.

Courbes d'extinction

elles seront généralement obliques et présenteront des valeurs variables, qui dépendent de la situation de Taxe et de la position de la face dans la zone.

Il convient encore de préciser ce qu'on appelle le signe d^une xone. Celle-ci est de signe positif, lorsque la direction Ug fait, pour toutes les faces de la zone, un angle inférieur à celui compris entre Tip et l'axe de zone, par conséquent un angle constamment plus petit que 45°; elle est de signe négatif dans le cas contraire. Une zone est enfin de signe variable, c'est-à-dire alternativement positive et négative, lorsque c'est tantôt rig tantôt 7ip qui font avec l'axe de zone un angle inférieur à 45°, nous verrons que ce cas n'est possible que chez les cristaux biaxes, et lorsque Taxe de zone se trouve dans le voisinage de l'axe n^ de l'ellipsoïde. Ces considérations peuvent s'appliquer aux directions d'allongement, qui peuvent être positives, négatives, ou de signe variable.

215. Conrbes d'extinction.^ Il est évident que Ton pourra représenter par une courbe les extinctions des différentes faces appartenant à , une même zone; il suffira de porter sur l'axe vertical les angles d'extinction s afférents aux différentes faces dont les positions sont données sur l'axe horizontal par l'angle a qu'elles font avec une autre face servant d'origine (fig. 271). L'angle d'extinction doit toujours être rapporté à une extinction de môme signe, Tig ou Tip] il est évalué

en partant de la projection de l'axe de zone, soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit en sens inverse, et compté par exemple positivement dans le premier et négativement dans le second cas.

216. Méthode expérimentale pour construire les conrbes d'extinction.

On peut déterminer les angles d'extinction des différentes faces appartenant à une même zone par divers procédés, à savoir: Par l'expérience, par le calcul, et par les méthodes graphiques, ces dernières sont toutefois bien préférables. Pour mesurer directement les angles d'extinction des faces d'une même zone, on utilise une petite platine auxiliaire que l'on fixe sur celle du microscope polarisant ordinaire. Elle doit être construite de façon à ce que la lame sur laquelle se fait la détermination, puisse tourner autour d'un axe perpendiculaire

Fig. 271.

1 A. MiCHEL-LÉvY, loc. cit.

238 Méthode expérimentale pour construire les courbes d'extinction

À l'axe optique du microscope- Celte lame est taillée suivant une direction connue, et l'on mesure les angles d'extinction qu'elle présente lorsqu'on l'incline autour de l'arête de zone, ce qui équivaut h. mesurer ces angles sur une série de faces de positions déterminées.

11 existe de nombreux types de platines construites dans des buts divers, mais qui peuvent être utilisées avec succès pour la mesure de ces angles d'extinction; l'une des plus simples est celle imaginée par M. DE Fédorow, sa description complète sera donnée ultérieurement, le fonctionnement de cet appareil se comprend d'ailleurs à la simple inspection de la figure 272 qui le représente. La lame à étudier est fixée par adhérence au moyen d'un peu de glycérine au centre d'un disque de verre qui forme la platine mobile, elle peut être inclinée par rotation autour d'un axe J, commandé par le bouton k, l'inclinaison est mesurée sur le cercle gradué T et le vernier n. Indépendamment de la rotation autour de J, la lame peut tourner dans son propre plan autour d'un axe M perpendiculaire, en agissant directement sur le cercle gradué, dans lequel est serti le disque de verre 0 qui la supporte. Cette platine auxiliaire est fixée sur celle du microscope au moyen de pinces à ressort; il faut la régler convenablement avant d'effectuer les mesures.

Four cela, le disque de verre doit tout d'abord être placé perpendiculairement à l'axe du microscope, ce qu'on peut aisément obtenir si ce dernier est disposé de façon à permettre i'autocollimation; dans le cas contraire, on adapte à celui-ci un objectif faible ayant un champ aussi grand que possible, et on tourne la platine au moyen du bouton K jusqu' à ce que tous les points situés dans le ' plan du disque soient nettement visibles. On lira alors la position qu'occupe le cercle vertical par rapport au zéro du vernier, et on la notera une fois pour toutes.

11 faut ensuite disposer l'axe J parallèlement au fil horizontal du réticule; pour cela on fait coïncider ce fil avec un des traits de repère gravés sur le disque 0, puis on tourne celui-ci de 180° autour de l'axe J. Si cet axe est ù. la fois parallèle au fil du réticule et au trait de repère, il y aura nouvelle coïncidence de ces deux derniers après la rotation; dans le cas contraire (fig. 273) on agira en partie sur le disque 0 et en partie sur la platine du microscope pour obtenir ce résultat. La lame à étudier ayant été ensuite fixée sur le disque par le procédé indiqué plus haut, on dispose l'arête de zone parallè-

Platines M, M. de Fédorow, Kleiu etc.

lement au fil horizontal du réticule, de façon à la faire coïncider avec l'axe k auquel elle doit toujours rester parallèle. Si la lame n'est pas éteinte, on tourne la platine du. microscope jusqu'à l'extinction, et l'angle de rotation mesuré est celui d'extinction sur la face orientée de la zone, qui sert d'origine. On incline alors la lame en tournant autour de K d'un angle déterminé; la lumière est rétablie, et l'on ramène l'extinction par une nouvelle rotation de la platine du microscope et ainsi de suite. On obtient de la sorte une série d'angles d'extinction e, £', e* etc. qui correspondent à différentes inclinaisons (i, /î', (fi* de la platine. Ces angles d'extinction sont ceux de faces qui feraient avec celle qui sert d'origine des angles y, y', y* etc. liés à (i par la relation (fig. 274):

sin;^

Fig. 373.

Fig. 274.

qui tient compte de la réfraction de la lumière à travers la lame, n étant l'indice de celle-ci.

■■ ! On peut aussi utiliser pour l'opération qui vient d'être indiquée d'autres platines, construites par M. C. Klein, et dont nous reproduisons les principaux

types (fig. 275, 276). Leur emploi est identique à celui de l'appareil de M. DE Fédorow; il faut également que l'axe de rotation soit parallèle

240 Méthode de M. Michel-LéTy pour calculer les courbes d'extinction

à Taxe de zone, ce que Ton obtient d'une façon identique à celle qui a été indiquée, en se servant pour le réglage de Tarête de zone elle-même qui sert alors de repère. Celle-ci doit en effet rester toujours parallèle à Tun des fils du réticule après le retournement de la lame de 180°. La platine, représentée par la fig. 275 permet d'effectuer la mesure dans un liquide, la lame peut tourner dans son propre plan en agissant sur le bouton K qui commande un pignon engrenant sur la denture disposée sur la périphérie du disque qui supporte la lame.

217. Enoncé sommaire de la méthode de A. Michel-Lévy povr le calcul des angles d'extinction des faces d'nne zone. ^ M. Michel-Lévy le premier a établi les relations qui lient l'angle d'extinction d'une section avec la position de celle-ci sur la zone à laquelle elle appartient et Torientation de son axe de zone. Soit une section QRy dont

le pôle se trouve en N (fig. 277), et appartenant à une zone dont Taxe se projette en Z. L'angle d'extinction y est représenté par la droite c-Z qui est la projection de l'arc compris entre l'axe de zone et le plan bissecteur Ne de l'angle des deux plans menés par les axes optiques A et B, La position de la section est exprimée par l'angle x compris entre elle et une autre face de la zone prise comme origine, bisséquant l'angle 2y des cercles AZ et BZ menés par Fig. 277. les axes optiques et l'axe de zone.

Il faut évaluer y en fonction de x et des angles /t et v compris entre l'axe de zone Z et les deux axes optiques; l'angle 2 V des axes optiques est inférieur à 90", et la somme ^t + v est également inférieure à 90".

L'angle auxiliaire 2 y entre les arcs AZ et BZ peut se calculer par les formules de la trigonométrie sphérique:

puis

tangy = l/sin {p - ^) sin {p - v)

Sur la figure, nous remarquons que:

aZ+hZ ^ = —2—

1 A. MicHEL-LÉvY, Ann. des mines. 12. 1877. 394. A. Michel-Lévy et A. Lacroix, Les minéraux des roches, pag, 9. Paris 1888.

Méthode graphique pour évaluer les angles d^exiinction 241

mais aZ se calcule facilement en remarquant que aZ = 90°— JJVa', car ANa' peut se déterminer par le triangle rectangle a!NA dans lequel on connaît a^V = 90° — (x + y) et Aa' = 90° — /i. Il viendra donc:

tangua' = '^°8^«' = -^'^

sm Isa cos [x -h y]

d'où l'on tire alors:

tang aZ = tang /£ cos (x + ;/) .

On obtiendrait par un calcul analogue:

tang 6 Z = tang v cos (x — y) et d'autre part

^ cotg 2 y == cotg {aZ+bZ),

d'où nous aurons:

cotg 2 ?/ = ^ — ^^"g /^ ^ang V cos (a; + ;/) cos {x — ;/) •^ tang u cos (x + y) + tang v cos (x — y) '

En développant les tangentes et les cosinus nous aurons enfin:

p [cos jt£ cos V — sin f.i sin r cos* y] + [sin /f sin v] sin* ir

^ [cos y sin (/t + y)] cos x — [sin y sin (/f — r]] sin x

Cette formule est de la forme

^ rt -4+J5sin*a:j

cotg 2 2/ = 7^ y^-:^

° ^ Ccosx — x>smx

Elle permet de calculer la valeur de l'angle d'extinction pour différentes faces d'une même zone, si l'on connaît les angles /f et v compris entre l'axe de zone et les deux axes optiques, l'angle 2 V que font ces derniers, et enfin l'angle x compris entre la face et le plan bisséquant Tangle obtenu en menant deux plans par l'arête de zone et les axes optiques. Elle se prête également à l'étude des propriétés des courbes d'extinction; nous n'entrerons pas ici dans le détail de la discussion de cette formule qui est développée in extenso dans l'ouvrage de M. Michel- Lévy et Lacroix.

La formule se simplifie naturellement beaucoup lorsque l'axe de zone est situé dans un plan principal d'élasticité; elle permet de construire les courbes d'extinction lorsqu'on connaît l'angle d'extinction initial d'une section de la zone parallèle à ce plan d'élasticité et Tangle 2 V des axes optiques. Les mêmes résultats peuvent être obtenus par un calcul plus simple que nous développerons dans la suite.