MÉTHODE GRAPHIQUE POUR ÉVALUER LES ANGLES D'EXTINCTION

218. Principe de la méthode, ntilisation de la projection stéréographiqne. La méthode graphique pour calculer les angles d'extinction

Dnparc & Pearce I. 16

a été imaginée par M. Michel-Létt: * ^ile permet de troaT€r aliment non seulement les angles d'extinction de5 diférentes ùoes d'une zone, mais encore ceox de faces qneîconqnes. lor^vïon ocimait la position qo*occnpent les aies optiques dans le cnsîal cijQfidrrré.

Cette méthode est basée sor le théorème de Fre^sel et sur remploi de la projection stéréographique.

Xoa^ savons que les directions des lignes d'extinction d'une lame sont celles des traces des plans bissecteurs des angles dièdres, obtenus en menant deux plans par la normale à la section et chacun des deux axes optiques. Soient A et B fig. 278^ les perspectives stéréographiques des pôles des deux axes optiques et P celui d'une section quelconque figurée elle-même par le cercle A'B'D. Les plans normaux à cette section que Ton devra mener par P et les deux axes optiques, sont les cercles APei BP: ils forment entre eux deux angles dièdres dont les

Fig. 278.

Fig. 279.

grands cercles CP et DP sont les plans bissecteurs fig. 278 . Les lignes d'extinction de la section considérée, seront donc données par les droites dont les pôles se trouvent en C et 2). aux intersections des cercles CP et DP avec celui A'CB'D qui représente la section. On peut alors évaluer l'angle que forme Tune de ces deux lignes avec une direction quelconque connue, figurée par son pôle x, cet angle est mesuré par un des arcs de grand cercle -rC ou xD.

Cette construction se simplifie considérablement si la section est parallèle au plan de projection. Dans ces conditions, les plans normaux passant par les axes optiques A et J5, de même que les plans bissecteurs PC et PD des dièdres qu'ils forment, sont représentés par des droites; l'angle d'extinction est alors mesuré en vraie grandeur sur Ui cercle de base par l'arc compris entre Tune des lignes d'exiinction PC on PDj et la direction xx' choisie (fig. 279). Le signe dont l'extinction doit être affectée est directement visible sur la figure, il se compte

1 A. MiciiEL-LévY, Études sur la détermination des feldspaths. I. 1894.

Méthode graphique pour évaluer les angles d'extinction

par exemple positivement dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, et négativenient en sens inverse. Il reste à préciser celle des deux lignes d'extinction qui correspond à ng ou n'; pour cela, il suffit de se rapporter à ce qui a été dit antérieurement (a. 82, p. 76); on sait en effet que Ug est toujours contenu dans le même dièdre que celui où se trouve la bissectrice n^.

Les considérations qui viennent d'être exposées vont nous permettre de trouver très facilement la valeur de l'angle d'extinction d'une section dont le pôle P(fig. 280] occupe sur la projection une position quelconque. Pour cela il y a, comme nous l'avons montré, avantage à faire coïncider le pôle avec le centre du cercle fondamental. On arrive à ce résultat par une rotation du pôle P autour d'un axe convenablement choisi, situé dans le plan de projection. Cet axe est évidemment perpendiculaire à la droite OPqui n'est autre chose que la perspective du grand cercle sur lequel le point P doit se mouvoir pour arriver en 0. L'angle

MTI^

Fig. 280.

Fig. 281.

de rotation sera mesuré sur le cercle de base par l'arc MP" , que Ton trouvera suivant la méthode indiquée dans l'appendice relatif aux constructions de la projection stéréographique. La rotation imprimée au pôle P entraine évidemment un déplacement correspondant de l'ellipsoïde, ainsi que des axes optiques A et B. Ces derniers se meuvent sur deux petits cercles, dont les plans sont perpendiculaires à l'axe de rotation 3/.!/ et viendront se placer en A! et B\ lorsque P aura tourné de l'angle MP' pour arriver en 0 (fig. 280]. Pour les constructions à effectuer voir l'appendice, n" IX et suivants. Il ne reste plus qu'à mener, comme précédemment, les droites ^'0 et 5' 0, et à construire les bissectrices des angles qu'elles forment; ces dernières seront les lignes d'extinction et il suffira de mesurer sur le cercle fondamental l'angle compris entre elles et une direction XX' déterminée, contenue dans le plan de la lame et dont on devra connaître la position. Comme il importe de préciser celle de ces deux lignes qui correspond ù iig ou

Méthode graphiqae pour évaluer les angles d'extJDctioD

«„', il faudra suivre ng dans son déplacement, pour fixer le dièdre dans lequel il se trouve, qui conlîenl comme l'on sait, n^j'.

On peut aussi, pour amener le pôle P au centre 0 de la projection, opérer comme le fait M. Michel-Lévy par une double rotation autour de de'tix axes perpendiculaires, qui coïncident avec les diamètres vertical et horizontal de Têpure. Par une première rotation autour da

Fîg. 282.

diamètre horizontal (fig. 281), le pôle P arrive sur ce diamètre en P*, en se déplaçant sur le petit cercle C 6". Les axes optiques X et £ se déplacent simultanément d'un même angle sur les petits cercles aa' et bb' et viennent en A' et B'. Une nouvelle rotation, autour du diamètre vertical de la projection, fait arriver le pôle P au centre 0 du cercle fondamental; les axes optiques se meuvent de nouveau sur des petits cercles A'^' et B'B" d'un angle correspondant, et se fixent alors en

Applications aux zones 245

J." et B". Les bissectrices des angles formés par les droites A'O et B"0 seront, comme précédemment, les lignes d'extinction cherchées.

219. Canevas stéréographiqnes.^ Cette seconde méthode exige des constructions plus complexes que la première, mais si l'on dispose d'un canevas stéréographique, elle se prête mieux à une recherche rapide des angles d'extinction. Ces canevas, que Ton peut se procurer dans le commerce, ont été proposés par divers auteurs. ^ Ceux de M. DE Fédorow (fig. 282), portent un double système de méridiens et de cercles parallèles tracés de 5 en 5 degrés, ce qui permet de suivre facilement les déplacements imprimés aux pôles de la section ainsi qu'à ceux des axes optiques et évite des constructions nécessairement plus compliquées. Le déplacement d'un pôle sur un petit cercle, sera en effet directement évalué au moyen des méridiens qui le coupent orthogonalement, mais comme ceux-ci sont construits de cinq en ci€q degrés, la mesure de ce déplacement ne pourra être qu'approximative.

220. Applications anx zones. Il s'agit maintenant de trouver les angles d'extinction des différentes faces d'une zone en vue de la construction des courbes d'extinction.

Supposons tout d'abord que l'arête de zone occupe une position quelconque et se projette en Z\ tous les pôles de la zone seront alors situés sur le cercle MPN, On pourrait à la rigueur obtenir les extinctions des divers pôles de la zone en amenant successivement chacun d'eux au centre du cercle fondamental et en appliquant ensuite le théorème de Fresnel.

Dans cette rotation qui doit se faire au- Fig. 283.

tour d'un axe RR' situé dans le plan de

projection et perpendiculairement à la droite qui joint le pôle P avec le centre 0 du cercle, l'axe de zone se rabat sur le plan du dessin, et son pôle vient en Z' (fig. 283). Cette construction n'est guère pratique, car il faut changer d'axe de rotation pour chaque pôle. Dans ces conditions il vaut mieux procéder comme suit:

Par une rotation autour de if JV^ perpendiculaire au grand cercle qui contient l'axe de zone et qui est normal au plan de projection (fig. 284), on amène cet axe dans ce dernier, en Z'Z'. Le cercle de zone devient alors perpendiculaire au plan du dessin et se confond avec la droite MN, Les pôles des axes optiques qui étaient primitivement en A et -B, se déplacent sur des petits cercles et viennent alors

1 E. V. Fédorow, Zeitsch. f. Kryst. 21. 1893, 623. S. L. Penfield, Amer. J. of Se. (4) 11. 1091. 1. G. Wdlff, Zeitsch. f. Kryst. 36, 1902, 14—18.

Méthode grapbique pour évaluer les angles d'extinction

en A'B'. Il ne reste plus qu'à amener successivement les divers pôles de la zone au centre de la projection, par des rotations convenables autour de Z'Z', et à déterminer leur angle d'extinction par rapport à la direction de l'axe de zone Z'Z'. Les axes optiques se déplacent toujours sur les mêmes petits cercles, quel que soit le pôle de la zone que l'on fasse coïncider avec le centre du cercle fondamental.

Les constructions à effectuer seront relativement simples et se laissent résumer comme suit (fig. 284):

V* Mener par A ^i B deux petits cercles normaux & MN.

2" Evaluer l'angle dont il faut tourner autour de MN pour amener Z en Z'. Il suffit pour cela de joindre le pôle M du cercle Z'ZZ' avec Z, la droite MZ prolongée intercepte sur le cercle de base un arc RZ' qui mesure cet angle en vraie grandeur.

Fig. 281.

Fig. 286.

3" Déplacer les pôles A ei B des axes optiques du même angle sur leurs petits cercles respectifs. Pour cela on mène par A ainsi que par B et MN deux grands cercles et on joint leurs intersections SelT avec ZZ' au point M\ en prolongeant les droites jusqu'au cercle de base, on aura en Z'S' et Z'T' l'angle compris entre celui-ci et les deux cercles construits. On porte alors sur le cercle de base à partir de 8' et î" et dans le sens du déplacement, deux arcs S' S" et T'T" égaux à RZ' mesurant celui-ci, joint les deux points obtenus avec M, et par leur intersection avec ZZ' on construit deux nouveaux grands cercles passant par MN. Ceux-ci contiendront les axes optiques qui se trouveront aux points A' et B' où ils rencontrent les deux petits cercles construits primitivement par A et B.

Si l'on dispose d'un canevas stéréographique, les constructions deviennent fort simples, â condition que l'axe de zone Z ait son pôle sur l'une des droites xx' ou yy' sur lesquelles sont construits les doubles systèmes de méridiens et de parallèles. Pour obtenir ce résultat,

Applications aux zones. Coarbes d'égales extinctions 247

on imprime à la projectioD uoe rotation convenable autour de sa normale; pour cela il faut joindre Z avec le point 0 par une droite, l'angle x OZ mesure la rotation nécessaire pour que l'axe de zone se projette sur xx' (fig. 285). Puis on mène les droites AO et BO, et on trace à partir de 0 et dans le sens de la rotation, deux droites faisant &\ec AO etBO des ang\es xOZ. Les positions définitives de .4 et ^ se trouvent à l'intersection de ces droites avec des cercles passant par A et B, ayant 0 comme centre.

4° L'axe de zone ayant été ramené dans le plan de projection, il reste à chercher les extinctions pour les différentes faces de la zone. Pour cela on amène un pôle P quelconque de celle-ci au centre de projection par une rolation convenable autour de Z'Z', mesurée par l'arc Z'P" (fig. 286} que l'on peut directement évaluer. Les axes optiques ^.5 se déplacent sur leurs petits cercles du mêm^angle ^^' et BB' et leur nouvelle position A' et B' peut alors être obtenue. L'application du théorème de Fresnel fournit ensuite la valeur de l'angle d'extinction par rapport à l'axe de zone pour chacune des faces de celleci. Le canevas stéréographique de M. Wulff peut s'employer avantageusement pour cette recherche. Les constructions doivent être faites sur un papier calque transparent, que Ton superpose à ce diagramme. L'arête de zone coïncidant avec le diamètre vertical, Fig. 286.

on peut évaluer de suite la position que prendraient les axes optiques après la rotation qui amènera un pôle du diamètre horizontal au centre de l'épure, il ne reste ensuite qu'à appliquer le théorème de Fresnel.

Dans la pratique, il est rare d'avoir dans une zone un nombre suffisant de faces pour pouvoir effectuer la construction des courbes d'extinction; souvent môme ces zones n'existent pas sur le cristal, et sont des conceptions purement théoriques. Les valeurs nécessaires pour la construction des courbes s'obtiendront alors en déterminant les extinctions pour des pôles de faces fictives, distants de dix en dix degrés sur la zone choisie.

221. Coarbes d'égales extinctions.' Nous venons de voir dans ce qui précède, qu'il était toujours possible de déterminer, au moyen de la projection stéréographique, les angles d'extinction des différentes faces d'une zone par rapport à la direction de l'axe de zone; un

I A. Michel-Lévy, Ëtade sur la détermination des feldapaths. I. Paiia. 1894.

Courbes d'égales exlinctions

raisonnement absolument analogue nous permettrait de trouver la valeur de l'angle d'extinction pour tous les pôles possibles d'une projection, cette valeur étant rapportée à une seule et même ligne directrice, comme par exemple la trace sur la section considérée, d'un clivage, d'uo plan de macle, ou d'une face de cristal figurée sur la projection. Dans la pratique, on prend les pôles situés aux intersections des cercles méridiens et parallèles construits de dix en dix degrés, la position de l'un quelconque de ces pôles sera en conséquence définie par une longitude >. et une latitude ±: fi. Le plan de projection est choisi de façon que la ligne directrice coïncide par exemple avec le diamètre vertical; en regard de chaque pôle on peut inscrire la valeur correspondante de l'angle d'extinction qui sera, selon les cas, afTectée d'un signe + ou — , ce qui peut être mis en évidence par un procédé quelconque (fig. 287).

Ceci fait, si l'on réunit par une courbe tous les pôles ayant la môme extinction, nous obtiendrons de la sorte une courbe d'égales extinctions. Toutes les courbes d'égales ex- ' tinctions passent par les pôles des deux axes optiques, et prennent, de part et d'autre des points qui les représentent sur la projection, des valeurs complémentaires en changeant de signe (fig. 287}, En effet, deux faces situées de part et d'autre de l'un des axes optiques, peuvent toujours être envisagées comme appartenant à une zone dont l'axe est perpendiculaire sur l'axe optique, or nous verrons [a. 223, p. 254) que l'angle d'extinction sur le plan mobile de la zone change de signe lorsque la section passe par la position où elle est perpendiculaire à l'axe optique. De plus toutes ces courbes passent également par les pôles situés sur la perpendiculaire à la trace choisie comme ligne directrice. Ici l'angle d'extinction est indéterminé, mais possède cependant pour un pôle très voisin, une valeur bien précise.

Parmi toutes ces courbes, il en est une qui présente un intérêt particulier, c'est celle des extinctions droites, c'est-à-dire qui se font

Fig. 287.

Propriéti^a des courbes d'extinction

à 0° ou à 90". Cette courbe qui passe également par les axes optiques, sépare les pôles de la projection en deux groupes dont les extinctions sont de signes contraires.

La fig. 287 que nous avons établie d'après l'épure des données optiques de l'anorthite et que nous empruntons au beau travail de M. Michel- Lévyi sur la détermination dea feldspaths, montre la forme que présentent ces courbes d'égales extinctions. Les angles sont comptés sur chaque section à partir de la trace du plan p' = [010) qui coïncide avec le diamètre vertical de l'épure.