Les formules (7) du n" 202, savoir

subsistent pour toutes les valeurs positives de x inférieures à II et en les retranchant l'une de l'autre on obtient

CHAPiYllE CINQLlÈiaK. 291

Si l'on remplace x par — dans la première formule, et par ■ — i——r dans la troisième, il viendra

cl, en faisant A = i ,

Ces formules sont employées pour le calcul des logarithmes népériens; les séries qu'elles renferment sont très-convergentes

lorsque les rapports — » — sont de petites fractions-

Si l'on multiplie les formules (i) par le module M des logarithmes vulgaires, on aura

j,„.(NHW,)^.ogN-.,l(A__';L,,.,^-^..).

Pour que l'on puisse faire usage de ces formules (3), il eal nécessaire de connaître le module M dont l'expression est

" = rTï'

et l'on déterminera facilement sa valeur par le moyen des formules (i) ou (s).

Etïectivement la deuxième des formules (a) donne, eu i'aisant K -- 1 j

2Ç)2 TRAITÉ DE TRIGONOMBTRIE.

la deuxième des formules (i) domiu ensuite, en faisant N = 8 = a' et A = 2 ,

(5) lIo=3l2-^2('~-^-~ + ^^^-...V et l'on aura, en conséquente,

Les séries qui figurent dans cette formule sont suffisamment convergentes; mais on peut en obtenir une infinité d'autres plus rapidement décroissantes. Par exemple, si l'on fait, dans la deuxième formule (i),JN = 4o96= 2'% /z = 4,N+A~4ioo, et, dans la deuxième formule (a), N = 4o=^ -î^ X.10, il viendra

14[ + :lllO:=ial2-(-2(-!^ + -— V^ -i-...],

en éliminant 1 2 et l4i entre ces deux ct|uations et l'éciuation (5), on trouve

Si l'on calcule chaque terme de la formule (6) ou de la formule (j) avec vingt-liuit décimales, de manière à pouvoir en

conserver vingt-cinq dans les valeurs de -— et de M, on trouvera

Le module étant déterminéj les formules (3) ^Jourront l'tre