CHAPITRE CINQUIÈME

employées pour le calcul des logaritlimes vulgaires; mais nous renverrons pour les détails à l'inslruction placée en tête des Tables de logarithmes de Gallet.

Développeiiie7it.s des fondions coainx et sin7?ia? en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de sinx.

207. Les formules (i) et (2) du n" 181, où m désigne un nombre entier, donnent les valeurs de cosmfl et de smma exprimées par un polynôme ordonné suivant les puissances entières et ascendantes de sino, ou par le produit de la mulliplicalion d'un tel polynôme et de cosu; les formules (i) se rapportent au cas de m. pair et les formules (2) au cas de m impair. Les seconds membres des formules (1) deviennent des séries illimitées si m cesse de représenter un nombre pair ; la même chose a lieu à l'égard des seconds membres des formules (2}, lorsque m n'y désigne plus un nombre impair, mais il est facile de s'assurer que ces séries sont toujours convergentes. En outre, les calculs que nous avons exécutés pour établir les formules dont II s'agit, dans l'hypothèse de m pair ou dans celle de m impair, s'appliquent également à t'iiypothcse contraire, pourvu que cosa soit positif, condition qui sera remplie si l'are a est compris entre les limites

— - et -1 — i la seule différence consiste effectivement en ce

que, dans le cas où nous nous sommes placés au n° i81, nous n'avions à développer que des puissances entières du binôme 1 — sin'a, tandis qu'ici les exposants de ces puissances auront le dénominateur 2 . Mais chacune de ces' puissances est, comme on l'a vu, développable en une série convergente dont les termes se succèdent suivant la même loi que ceux du développement des puissances entières; d'ailleurs le nombre des séries de cette espèce qu'on doit ajouter est essentiellement limité, et la formule de réduction du n" 180 est générale; on arrivera donc nécessairement aux mêmes résultats en opérant de la même manière dans le cas de m pair et dans celui de m impair. Par conséquent les deux systèmes de formules (i)

294 TRA[ÏÉ DE inlGONOSIÏÎTRlE.

et (a) du n° 181 peuvent être employés indifféremment, quel que soit l'entier m, pourvu que l'arc a reste compris (^ntrc les

limites et -j- - • On a donc , en réunissant la première

formule (i) à Sa deuxième formule (2), et en écrivant x ax\ lieu de a,

fm + 3)t,»-]-

pourvu, nous le répétons, que m soit un nomlîro entier et que

X soit compris entre — - et H- --

Cela posé, je dis que les formules (i) subsistent pour toutes les valeurs réelles de m, si l'arc x reste compris entre les

limites — — et H

En effet, désignons par ç (m) la somme des seconds membres des formules (i) multipliés respectivement par i et ^ — i ou i; représentons aussi par tf (m,) et <f(m-i-m,] les résidtats que l'on obtient en remplaçant, dans y (m), m par /«i et par Tw-t-mi- Les quantités ç("i), f ('»i)' f ('"H-'"]) étant ordonnées par rappoi't aux puissances croissantes de sinx seront des séries toujours convergentes, et cette convergence ne sera pas altérée si l'on remplace chaque terme par son module; il s'ensuit que, si l'on multiplie entre elles les séries représentées par y (m) et ç(mi), et que l'on ordonne le produit suivant les puissances croissantes de sin^, on obtiendra ttne nouvelle série convergente dont la somme sera f{m) f{mi). Mais, lorsque m et mi se réduisent à des nombres entiers, on a

car, dans ce cas, les équations (i) ont lieu, et l'on a

yGoosle

ciiiPirRE ciKQUiiiMii. 295

donc les coefficients des mêmes puissances de sina: sont identiquement égaux de part et d'autre. Ces coefficients sont des fonctions entières de m et de jw,, et de ce que leur égalité existe pour toutes les valeurs entières de m et de m,, on peut, conclure que la même égalité subsiste, quels que soient m et mj ; il suffit eifecti veinent de répéter ici le raisonnement que nous avons fait ju n" 180 à l'occasion d'un cas semblable. L'égalité (2) ayant lieu identiquement, on en conclut

quelles que soient les v quantités m, mj , . . . , m,, , et, dans le cas où ces quantités sont égales entre elles, on a

Si l'on t'ait m^^ ~t p. étant un nouvel entier, cette égalité devient

k désignant un certain nombre entier, qu'on peut supposer inférieur à v . Or <f ( - ) se réduit à i pour x^=Ci : donc alors l'entier fr est nul; il s'ensuit que l'on a constamment S =: o, car les seconds membres des formules (i) varient d'une manière continue quand x croît de ^ à + -- Ainsi l'on a

lorsque m est égal à une fraction rationnelle -; et il s'ensuit

évidemment que la même formule a lieu encore si m est un nombre incommensurable.

On voit d'après cela que les formules (i) subsistent quel que

soit m, pour toutes les valeurs de x comprises entre — ~ et -h - ■

Développement de la fonction arcsinz en série ordonnée suivant les puissances entières de z.

208. Les formules (i) du numéro précédent peuvent s'écrire comme il suit :

-fe]('-?)-[-"o^]^

Les seconds membres' de ces formules sont des séries convergentes quel que soit m; en outre, dans chacun des termes de ces séries, le produit des facteurs qui dépendent de m se réduit à i pour m = o, lors même que le nombre de ces facteurs devient infini, ainsi qu'on le reconnaît inira.édîalem.cnt en se reportant aux formules (i) du n" 187. On a donc pour