CHAPITRE CINQUIÈME. sf

Calcul du rapport de la circonférence au diamètre.

205. En faisant x = ^ dans la formule (i 8) du cèdent, on obtient

cette série, que nous avons déjà rencontrée, converge trèslentement, et elle ne peut servir au calcul de îi; on peut obtenir, pour cet objet, des séries exlrÈmement convergentes. Posons, par exemple, avec Euler,

tang<i=-, on aura

taiigy —taxiga

tangè^:

iH-tiing-jtMga

et si l'on rempiace a et i par leurs valeurs en séries tirées de la formule ( 1 7 ) du n° 204, il viendra

4 ~ i^ï ~ 37^ "■" 5;;^^ ^ ■ ■ ■ j ■"*' \ 3 " 3T3Ï ^ 573> —■•■}■ On obtient des séries plus convergentes en partant de l'arc a, dont la tangente est -, cl en opérant comme il suit. Soit

2QO TRAITÉ DE TRIGONOMÉTlilE.

On voit que 4^ diffère peu de -;-; si l'on pof

on a donc, en remplaçant a et b par leurs valeurs en séries,

Au moyen de cette formule on trouve sans difficulté cette valeur de 71 avec vingt-cinq décimales exactes :

Euler a donné dans les Mémoires de l'académie des Sciences de Saint-Pétersbourg un grand nombre de séries du même genre que la précédente ; mais ce que nous avons dit est suffisant, et nous renverrons les lecteurs curîcnx dc' connaître ces développements aux ouvrages que nous venons de citer.

Formules relatives au calcul des logaritlmies. Module des logarithmes vulgaires.