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Ces formules, qui subsistent pour toutes les valeurs de x comprises entre et -! — , font connaître les développements

de l'arc x et de son carré en séries ordonnées suivant les puissances entières de sina:.

On parvient encore aux résultats précédents par les considérations suivantes. Les premiers membres des formules (i)du

CHAPITEE ClNQUIÈSir.. Sg?

11° 207 peuvent être développés en séries ordonnées suivant les puissances entières de m : donc les seconds membres peuvent l'être aussi do la même manière. Les formules dont il s'agit étant ainsi préparées, si l'on égale de part et d'autre les coefficients de m et ceux de m^, on retrouvera les équations (i) que nous venons d'obtenir.

Si l'on remplace x par œ dans la deuxième formule ( i ) ,

cette formule {2), qui donne le développement d'un arc en série ordonnée par rapport aux puissances de son cosinus, exige que x soit compris entre zéro et r,.

Enfin si l'on remplace x par arc sin^, dans la deuxième formule (i), et par arccosz, dans la formule (2), il viendra

(3, ) "° "" " "' ' ' '" ; ■ ■ ^ °,t',"r,wi" * "

On obtient des résultats numériques qui offrent quelque intérêt en faisant a- r= -7 1 =■;;' = 7^ «î^ns les formules { i ) .

Développement des fonctions logsîn,r et logcosor en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de x.

209. D'après les formules (i) du n° 187, si l'on désigne les logarithmes népériens par la caractéristique 1, comme nous l'avons fait jusqu'ici, et que l'on pose

les quantités R„ et Iî'„ tendront vers zéro quand /; tCJidra vers

2^8 TRAITÉ DE XRIGONOnÉTRlE.

l'infini. Or, pour toutes les valeurs âe z comprises entre — i et -H 1 , ou a

donc les logarithmes, en nombre limité, qui figurent dans la première équation (i) seront développahles en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x pour toutes les

valeurs de cette variable comprises entre et -\ — ; pareillement les logarithmes qui figurent dans le second membre de la deuxième formule seront développables de la même manière pour toutes les valeurs de x comprises entre — tt et -h ît. Si l'on forme ces développements el que 1 on fasse tendra ensuite n vers l'infim, on obtiendra les valeurs de logcosxet de logsinx en séries infinies. Or il est aisé de voir que le calcul qu'il faudra exécuter est de tout point semblable à celui que nous avons développé au n° 192 pour obtenir les séries qui représentent les valeurs des fonctions tang:»: et cotir. Le calcul relatif à — logcos;»: ou à logsina' — logjr diffère seulement de celui qui se rapporte à tanga: ou à cota: en ce

que les exposants de x sont augmentés d'une unité, et que les coefficients sont divisés par l'exposant de x, circonstance dont le Calcul différentiel donne la raison. D'après cela, on peut écrire immédiatement les deux formules

Bi, B,,. . ,, B„,. . . désignant ici, comme au n" 192, les nombres de Bernoulli. En retranchant la première formule de la deuxième, on obtient

cn^PiTm; cinquième. 599

La première formule (a) et la formule {^i) subsistent pour toutes les valeurs de ;ï: comprises entre et -l — j la deuxième formule (2) peut s'étendre aux valeurs de x comprises entre — tt et -|-îr. Le cas de x négatif n'introduit point d'imaginaires, car nos formules ne renferment en réalité que les seuls loga-

, , , , sina^ , lans.r. . , , ,

nthmes ico&x, 1 1 i- > qui restent réels quand x est

négatif.

Si l'on remplace les nombres B, , IS5,. . . par les valeurs que nous avons obtenues aun° 193, 11 viendra

210. Les formules {2) peuvent être employées pour la construction des Tables des logarithmes des sinus et des cosinus.

Si l'on y fait x= , qu'on les multiplie par le module M

des logarithmes vulgaires et qu'on y introduise, au lieu des nombres de Bemoulli, les sommes S ou S' liées à ces nombres par les formules (8) du n" 192, il viendra

logées /^ 90°) r--— M ^ë, ^^ + '- S, '-J -\- -^ S, ^'- -h . . .) ,

logsin f ~ go"! ^- log^ -;- logm — Ingn

la caractéristique log exprimant des logarithmes vulgaires. Ou aurait obtenu des séries plus convergentes si l'on avait conservé dans les formules (i), sans les réduire en séries, les logarithmes de I — -'-p et de i ^1 quantités qui se réduisent ici

TRAITÉ DE TllIGONOMÉTRIE.

— ; les développements de ces logaritlimus

<!t, si l'on retranche ces équations respectivement des deu\ précédentes, il viendra

= iog:

-1- !og/

,H-ioe(„

)rT + ïi:s.-i)--

Ces deux formules sont très-commodes pour l'objet que nous avons en vue ; en les retranchant l'une de l'autre, on aurait la

valeur de logtangl — go" j) que nous nous dispensons d'écrire.

Si l'on calcule les coefficients numériques des formules

précédentes avec vingt décimales, on obtiendra les résultats suivants :

lOgCOS ( '-" goM .^ log [a — m) -h log (« -h m ) -

alog/;

-o,ioi4g48593 4189380353 -y -O,oo3i8 7ag4o 6545i 07231 —^ -0,000^0948580001741893 ~

C8483 48S98 3o;43 - 148019398689554 oi365oaa7a 02565 -

-o.ooooooo

(ii47" "Sîii 5j

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