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Développements en séries ou en produits injinis des fondions circulaires de variables imaginaires.

214, Les formiiles qui expriment les fonctions cos:cet sin:c par des produits infinis de facteurs linéaires ne sont pas bornées au seul cas où l'arc œ est réel; ces formules subsistent, au contraire, quel que soit x. Il en est de même des formules qui expriment les valeurs des fonctions tangx, cot.a:, sccx, cosécjr, décomposées en une infinité de fractions simples. Enfin les séries ordonnées par rapport aux puissances entières et ascendantes de x, qui représentent les fonctions tangx, cot^, séc^, coséc^, dans le cas où .r a une valeur réelle comprise entre des limites convenables, ne cessent pas de représenter les mêmes fonctions quand x devient imaginaire, pourvu que le module de cette variable reste inférieur à la limite qu'elle ne doit pas dépasser lorsqu'elle est réelle et positive.

Nous allons établir ici ces diverses formules par des démonstrations nouvelles, qui s'appliquent indifféremment au cas où la variable est réelle et au cas où elle est imaginaire; ces démonstrations reposent sur le lemmc suivant :

Lemme. — ■ Si l'on désigne par c un arc réel compris entre zéro et -'- 5 et par z une variable réelle ou imaginaire dont le module soit inférieur à «, le module du rapport —— sera inférieur au module de - ■

En effet, si l'on pose

tang {.y -i- ly] tan g(j; — ?>}

taiig'a

tacg'a

'*' l«ng'".

CHAi'iTiii; ciNOtiiÉJini. 3o3

or, le module de s étant, par liypotlicse, inférieur à «, ou a x=< «% et, d'après le lemmc du n" 186, î^^î^ < -■, on .

taiig"«

donc

mod

tang's taug' a

COROLLA

• Ze,

p de z est i

tang'

lauj,''.

choses étant posées, , pourra écrire

tang'î — taDg^a k'

en représentant par e /a hase des logarithmes népériens, par 6 et 3 des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à l'unité.

Eli effet, d'après la formule (j6) du n" 203, on. a

poiu'vu que le logarithme népérien qui figure dans !e premier membre soit pris de manière que la valeur absolue du coefficient de i soit au-dessous de -• Or, d'après notre lemme, le second membre de l'inégalité précédente est inierieur à la

fraction j; d'ailleurs, comme nous supposons ^ <C -î

cette fraction est plus petite que i, et elle augmentera si

3o4 TRAITÉ OE TtllGOKOMÉTRIË.

l'on ajoute — à chacun de ses termes ; elle est doue inférienro

Le module du loffaritliine népérien de i — — ^ — étant o ^ tung^«

inférieur à ~, ce logariUmie est égal au produit de ^ par

une expression imaginaire S dont !e module est inférieur à i ; on a, en conséquence,

tajig'a

En second lieu, comme le module d'une somme de deux parties est au moins égal à la diiicrence des modules des parties (162), on a

mod '^^1

mod '■''"g^ < ^""g" ,

taag'a - tang's ^ ^^^^ tangos

et, d'après notre Icnime, le premier membre de cette inégalité

Pi sera, à plus forte raison, moindre que — — ; et que --■-■

Si donc on désigne par 3 une expression imaginaire dont le module est inférieur à i , on aura

tang=a — tangos

212. Les formules relatives à l'addition des arcs s'appliquaut aux arcs imaginaires comme aux arcs réels, toutes les formules cjui se déduisent de celles-ci acquièrent la même généralité, ainsi que nous en avons déjà fait la remarque. Il s'ensuit que les formules (i), (a), (3), (4) du n" 185 subsisteront si l'on y remplace l'arc réel x par une expression imaginaire z d'un module quelconque p. Cela posé, considérons les formtiles {3), où m désigne un nomtre pair; dési-

CJIAVITIIE ClNQUlKsiiî. 3o3

gnons par n un nombre pair queleoncpc, assez grand cependant pour que — ^ soit supérieur à p^, et prenons ra^n; on pourra écrire

tang" ;

tang»

■Titang--) I— -

D'après le corollaire du lemme établi plus baut, les logaritbmes népériens des expressions i — £„,,„ et i — r;„,j„ ont pour valeurs

1 (, - =„) = J- \j^^. + (-^J-'jy + . . . -i- (--H^yJ . '(■ »-..)- ,. [„. + („ + ,,. ' •••+(„,,).]'

3o6 TRAITÉ I)E TBIGONOMÉTEIE.

en désignant par 6„, 8„^,^ . . . des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à i . Or les modules des sommes entre crochets sont infërieurs aux sommes des modules de leurs parties; ils seront donc respectivement inierieurs aux sommes S„+i et S„ des séries infinies

dont la convergence a été établie précédemment. On aura , par suite, en désig;nant par 1„ et X„4., des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à i,

Supposons maintenani que, J'enîior n restant constant, on

fasse tendre m vers l'infini; le produit mtang— ou z —

se réduira à z pour tw =^ co ; pareillement les rapports de deux tangentes qui figurent dans les formules (i) auront les mêmes limites que les rapports des arcs correspondants ; enfin le fac-

teur cos"" — ~—

se réduira à l'unité , comme

dans le cas de z réel, d'après la proposition dém

n" 198 (Remai-fjue). Si donc on désigne par t„ et «„ les limites

de £„ „ et de ïi,„,„, les formules (i) deviendront, pour m=iea ,

.-(-t=)(-|S)'-[-fiÎF=](—