CHAPITRE CINQUIÈME

et l'on aura ensuite, par les formules {2),

^,,+1 et ?■„ désignant toujours des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à i.

Mais les sommes S^ et S„^i ne sont autre chose que les restes des séries convergentes

ces restes tendent vers 7,éro quand n augmente indéfiniment; on a donc

Par conséquent, si l'on fait tendre n vers l'infini, les formules (3) deviendront à la limite

et, en remplaçant z par iz, dans ces formules (5), on aura

(^:^..Ç)(..i5)(..JJ)....

Si l'on pose z ^x -l-ij, les premiers membres des formules (6) se réduiront respectivement à

d'où il suit que ces expressions sont décomposables en un

3o8 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE,

produit d'une infinité de facteurs linéaires, et la même chose a Heu en conséquence à l'égard des carrés de leurs modules, carrés qui ont respectivement pour valeurs

Les formules (fi) prennent une forme plus simple quand o écrit — au lieu de z; on trouve ainsi

213. Les formules (3), (4), (3) et (6) du nM89 subsistent quand on remplace l'arc réel x par une variable imaginaire z d'un module p quelconque. Si donc on choisit, comme précédemment, un nombre pair n tel que — soit supérieur à p \[i, et que l'on prenne ensuite pour m un nombre pair supériciir à n, les formules (5 ) du numéro cité donneront

' tangï — taiig

- f cot-~-i-taiig— )

I tang'— — tûag=" tang'*^ — î-^^ — tang'- ' I

= ( — cot — — tHDg— ) — — ( cot -- 4- tans — )

I tang'— -tang'— tang' ^"^'^'^ — tang' - ' j