CHAPITRE TT

DE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES PAIi LA VOIE DES SÉRIES ET DES FOIIMULES TRIGONOMÉTHIQUES DIFFÉRENTIELLES.

Sur la manière d'exprimer les angles dans le calcul.

215. Les méthodes que nous avons exposées dans les Chapitres in et IV, pour la solution des divers problèmes de la Trigonométrie rcctîligne ou splicrique, ne laissent rien à désirer sous le rapport de la rigueur ; maïs il est des cas où il peut être plus simple et plus avantageux de substituer des procédés particuliers aux méthodes générales, soit pour abréger les calculs, soit pour obtenir des résultats plus précis et plus indépendants de l'erreur des Tables. JNous nous proposons, dans ce Chapitre, d'examiner les cas les plus importants; les solutions que nous présenterons reposent toutes sur l'emploi des séries.

216. Les angles sont exprimés dans le calcul, soit par les degrés, minutes et secondes qu'ils contiennent, soit par les longueurs absolues des arcs qui les mesurent, ces arcs étant pris dans le cercle dont le rayon est i. On a souvent besoin, dans les applications de la Trigonométrie, de passer de l'une de ces expressions h l'aulre ; nous allons indiquer ici la manière dont on effectue habituellement cette transformation.

Soient X la longueur d'un arc qui mesnre un certain angle, et x' le nombre entier ou iractionnaire de secondes contenues dans cet angle ; il est clair que x est égal à x' fois l'arc de i",

mais, comme l'arc de \" diliëre de son sinus d'une quantité

3l4 TRAITÉ DE TalGOKOMÉTBIE.

plus petite qu'une unité du quatorzième ordre décimal, il est permis dans les applications de siiistituer ce sinus à l'arc, et

Supposons, d'après cela, que dans une formule figure un angle x évalué en parties du rayon; si l'on veut faire que cet angle soit évalué en secondes, il favidra remplacer x par x'sin i", ou simplement par x sin \" en supprimant l'accent. Au contraire, si l'angle jt? se trouve évalué en secondes et qu'on veuille faire qu'il soit évalué en parties du rayon, il t'audra remplacer X par -^'„-*

Tableau des formules ijiU expriment les dévelopiJcinent.s des fonctions circulaires en séries.

217, Nous rassemblons ici celles des formules établies dans le Chapitre précédent, dont l'usage est le plus fréquent dans les solutions trigonométriqucs. On a en premier lieu les six formules suivantes ;

tangic = ,^ + — + -

qui donnent les lignes tri go nomé trique s de x en fonction de

cnAriTEiî SIXIÈME, cet ai'c, et en deuxième lieu les deux formules

( taiie'^ langea'

qui font connaître l'an; x en fonction de son sinus ou de sa tangente .

Dans les formules (i) et (2), l'are x est évalué en parties du rayon; si l'on veut qu'il soit exprimé en secondes, il faut

218. JVous avons vu au n° 203 que, si les quantités 6 et;- sont définies par deux équations de la forme

ou peut calcuW l'angle 6 et le logarithme népérien de /■ par les formules

qui seront d'autantplus convergentes que p sera plus petit, et qui subsistent tant que p est inférieur à i . Pour le calcul il faut multiplier la seconde formule par le module M des logarithmes vulgaires; il faut en outre remplacer 6parâsini", dans la première formule, ce qui revient à diviser le second membre par sin s" ; alors, tant qu'on doit se borner à un petit nombre de termes, il est permis d'écrire sina", siii3", . . , , au lieu de 2 sin i", 3 sin 1", . , . , et l'on a ainsi

3l6 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

Si l'on change » en 180" — u, les iormules (3) deviennent

(5) tangO = — *- > rz=\/i— ap cosu + p»,

et, en faisant le même changement dans les formules [4)) 0:1 aura, pour calculer les valeurs de 9 et de logr,

Enfin on a très -fréquemment l'occasion de caleulei augle X déterminé par une équation de la l'orme

(7) îang.r = — '■ tang-o:,

où la quantité donnée m est supposée comprise entre —

et, en remplaçant tangx par sa valeur LÎrée de l'équation proposée, il vient

équation semblable à la première équation ( 5 ) ; on aura donc, en appliquant la première formule (6 ),

(8) ^=,^„ïï^"+,„.?'iifc+,„.!iîi;+....

^ ' ■ sini" "" sinz" sin3"

Cette dernière formule a été établie directement par Lagrange dans les Mémoires de l'académie de Berlin pour 1776.

Des triangles rectilignes dans lesquels deux angles sont très-petits.

219. Problème I. — Résoudre un triangle rectiligne, connaissant le côté c et les angles A et B supposés très-aigus.

Les angles A et E élanl Irès-aigus, on peut prendre

sinA =; A — ^ A', sinB = B — i: B% b 6

sinC 1= sin [ A H- B ) = A -h B — g ( A + B)» ;

, , csinA , csinE , . .

es formules a= — .-p' 0= —-^ deviennent alor;

" ^ A^^B 1 — -i{A-MJJ'

effectuant les calculs indiqués et négligeant partout les teri du quatrième degré en A et B, il vient

__ cA f 2AB + B"\ , «^B / A"-i-5AI!\

CCS valeurs sont exactes aux termes près du quatrième ordrt en A et B. Les angles A et B étant donnés en secondes, il f'aui écrire pour le calcul

ck f 2AB + !i' . , ,,\

chacune des parties de a et de l) devra se calculer sépai par logarithmes.

àib 'rn\!TÉ HE TRiGOMûiuETnii;.

SÎ20. PnOBLÈMiî II. — liésoudro un triangle rectUigne, connaissant deux côtés a et h avec l'angle compris C sup~ posé très-ohtus.

Posons C == i8o"— ■ 0, l'angle 6 sera très-petit. On a mettant i au lîuu de cosâ, si viiint

développant par la formule du binôme et négligeant les termes en d d'ordres supérieurs au troisième, il vient

Calculons maintenant A; on a

sinAz;; -sinC '--■ -sinO;

remplaçant c par la valeur (i) et sin9 par — • -r? il vient

développant par la formule du binôme et négligeant les termes du quatrième degré en 6, il vient

, afl r d' -\- b=~nb on

mais, l'angle C étant très-olitus, A est très-petit, et l'on peut prendre

sin'A

A --^ smA ^- — ji— ■ b

Substituant, dans ectle formule, la valeur précédente de sin A, il V iiml