E SIXIÈME
les quantités p, q et x seront très-petites. La formule donne
n&ip -i-cos2i
n — COs{a 4-3;) (,) J (,-,..»)(,-CO,2p)- (.
On voit que, si l'on considère p et q comme des quantités du premier ordre, x sera du second ordre; et, si l'on veut négliger les quantités du quatrième ordre, il faudra remplacer cosap par i — 2p*, cosai/par i — 21/^ dans le numérateur du second membre de la formule (i), et réduire ces cosinus à l'imité dans le dénominateur du même second membre; en outre, le premier inemlire sera xsina, au même degré d'approximation. La formule (i) devient, d'après cela,
(2 ] a; = /j' tang - u — 5' cot - a ;
mais il faut écrire, pour le calcul.
Cette formule (3) peut être employée avec avantage dans les calculs géodésîques pour effectuer la réduction des angles à l'horizon; elle est plus expéditive et elle exige des Tables moins étendues que la formule du premier cas des triangles sphériques; cependant, lorsque les angles p et q surpassent I ou 2 degrés, il est plus sûr d'employer la méthode générale. Il est facile d'estimer l'erreur que l'on conimet, en faisant usage de la formule (3). Reprenons à cet effet la formule (i), qui est rigoureuse, et poussons l'approximation jusqu'aux termes du sixième ordre exclusivement ; le premier membre devra être
réduit à X sin a 4- — cos a ; à l'égard du second membre , on
Trig. S. ai
323 TRAITÉ DE TKIGOKOMÉTBIË.
remplacera cos2;j et cosay par i— 2/j"+-=- et i — ay^H — ^-
dans le numérateur, maïs on réduira ces cosinus à i — zp^ çt 1 — ■ ay' dans le dénominateur. On aura donc
lav i-h p -h q 1 ce qui est permis, et x^ par la valeur tirée de la formule (a), il viendra
x —p' tang -a~q' dit ~ a +]-/(-- tang - a -1- j taDg= - a \
- p' 5' j cfi!; -a - — tang —
L'erreur que l'on commet en employant la formule (3) 1 donc égale à
— ^/iV/sm^i" fcot^a — tang^«j,
et il est facile de l'estimer par la considération du plus grand des termes contenus dans l'expression précédente.
Résolution d'un triangle sphéi-i/jue dans lequel on connaU deux côtés et l'angle compris.
224. Première solution. — Soient a et b les côtes donnes, C l'angle donné. On a, par les formules de Néjjer,
/ A — B\ i^ ta.ns^acoiib i „
tacg Qo" -; = 2-^ '— tang-C,
/ A+B\ 1 — tanff-~«tarie|6 t„
tang 00" -— = ^, 2A^ tang-C,
r- tangi« tangjÔ
CHACITRE SIXIËSIE.
, eu appliquant la formule (8) du n** 218, il vient
tangua sJnC taogY* sini"
1 A-l-B I ^ 1 i , sinC
-= go" G-\- tang - a taiig - 6 -;— — ,7
— tang' — a tang' — i — — — + . . . .
La première série est convergente si a est < 5 ; mais, pour (jue la seconde !e soît, il faut que l'on ait tang - a tang -b<^i ou
Pour calculer c, on a cosc = cosacosà -r- sinrtsinJ cosC, d'où l'on déduit aisément
On voit par ces équations <£uesin-c est le troisième côté d'un triangle rectïligne dont les autres côtés seraient sin - a cos - &, COS-« sîn-b et l'angle compris C. Pareillement, cos-c est le troisième côté d'un triangle rectïligne dont les autres côtés seraient cos - a cos - b, sin - a sin - S et l'angle compris i8o° — C. Appliquant donc ici le résultat trouvé au n" 221 ,
32^ TRAITÉ DE TlllGON0a£TRlE.
on aura
logsm i c — !og f cos ^asm~b\ -Ml tang-<icot-&cosC-i — tang*- acot'-6 coS2C-r--. | , ■ (i =z log ( cos - a cos - è j I tang-ntang-&cosC— - tang'~« tang'-icosaC-i- ... j,
<;t, en retranchant ces formules l'une de l'autre, on obtiendrait la valeur de logtang-c.
225. Deuxième solution. — La solution trcs-éicgante que nous venons de présenter est duc à Lagrange; les lormules auxquelles elle conduit ne sont pas sous une forme qui permette d'évaluer facilement les éléments inconnus, lorsque l'un des côtés donnés est très-petit par rapport à l'autre. ïl est nécessaire d'en obtenir d'autres qui procèdent suivant les puissances de ce côté, et c'est à quoi l'on parvient très-aisément de la manière suivante.
D'abord, si l'on ajoute les équations (i) et qu'on les retranche ensuite l'une de l'autre, il viendra
2sinG I 2sin2Ccotô i
A =^ . „ tang - n-h ■ ■ . ■ ■ ■ , — j- tang= - a
Si l'on suppose que le côté a soit très-petit, et que l'on puisse négliger les puissances de a supérieures à la troisième,
CHAFITRE SISIËME. S^S
en portant cette valeur de tang - a dans les équations précédentes, et en négligeant partout la quatrième puissance de «, on trouve
A=a -^—r + a' 510 1 " sinC cosC -r— ;■ [ smb sinl'
(3) ( Ji = iBo"— c — «sinCcoti— -a'smi"sinCMsC(i-r?.cot'È)
I ~-<."sin'i"rismCcos'Ccol»(3'l-jlc(.i"!.)
