CN

On voit que, pour calculer le second membre au même degré d'approximation que A et B, il stiffira de conserver les termes en «' dans les deux derniers facteurs. On a

et les équations (3) donnent ensuite, en négligeant a", sccJA = .-t-iA.,l».,-=, + i»>sin-.-'4î^,

326 TRAITÉ DE TnlGOHOMÉTRIE.

-[-ja'smU"siïiCcosC{i-\-icot'b),

cos — - = I — 5«=sinM"Bm=Ccot=ô,

Au moyen de ces formules, la valeur préeéiiente de sm-(c — b) devient

sini(c— 6) = — iasini"cosC-:- -'-a'sin' i"sin'Ccotfi

H-^a=sinn"rcosCsin'C(i-i-4cot=6)+^cosGl;

enfin l'on a

i(«-S)>m,"=sinl(o-^S) + ^.m-l(=-i,),

et l'on trouve de cette manière, en ncglîgeanl toujours la quatrième puissanee de ii.

Hr"sin=Ccot6 ^'d^-: -1- -r.ot'6)

Les formules (3) et (4) sont surtout avantageuses dans le cas où l'on peut négliger la troisième puissance de a.

Résolution d'un triangle spherique dont les côtés sont très-petits.

226. Legendre a fait connaître un beau théorème par lequel on ramène à la résolution d'un triangle rectiligne celle d'un triangle sphériijue dont les côtés sont très-petits par rapport au rayon de la sphère. Ce théorème, très-intéressant en luimême et fort utile dans les opérations géodésiques, peut être énoncé de la manière suivante :

î SIXIÈME. 327

Etant donné un triangle sphérique dont les côtés sont très-petits par rapport au rayon E. de la sphère, si l'on construit un triangle recliligne qui ait les mêmes côtés que ceux du triangle spliérique, les surfaces des deux triangles seront égales, aux termes près du deuxième ordre par rapport à —5

et les angles du triangle sphérique seront égaux à ceux du triangle rectiligne, augmentés du tiers de l' excès sphérique , aux termes près du quatrième ordre.

Pour démontrer ce théorème , désignons par R le rayon de la sphère, et par a, h, c les côtés du triangle sphérique rapportés à une unité de longueur arbitraire; par A, B, C, comme à l'ordinaire, les angles opposés. Le triangle sphérique semblable au proposé, et qui serait construit sur la sphère de rayon i, a pour côtés -, -; ~, et l'on a, par suite, en posant

a-\-l>-'rC~2p,

on a d'ailleurs

Si l'on porte ces valeurs dans les expressions de sin- A cl decos-A, que l'on néglige les termes du quatrième ordre par rapport à ~, que l'on remarque enfin qu'à ce degré d'approsi-

matîon on a

^ V '" V 3tt"

ou, en extrayant la racine carrée du deuxième facteur, par la formule du binôme.

Considérons maintenant le triangle recliligne qui a pour côtés «, 6, c; soient A', B', C les angles respectivement opposes à ces côtés et S' la surface du même triangle. On aura

et si l'on forme les produits

sin- Acos- A', cos-Asin-A',

puis qu'on les retranche l'un de l'autre, il viendra, après réductions,

.1-. ,,, ^p{p-'^)(p-^){p-^) iS' sm^(A A)^ g^^ "ës:'

(*) La méthode qne nous suivons kï permet de passer immédialement des formules de la Trigonomêlrie sphérigue k celles de la TrJ^oDoinétrJe rectiligne. Par exemple, les formules ([), qui ne sont exactes qu'aux termeEprès du 4' ordre en — ) deTJendront rigoufeuses à la limite pour R = co, et elles se Eoduiront alors aux formules correspondantes de la Trigonoraùlric rectilignt!.