On peut facilement trouver, par ce qui précède, le sinus

et le cosinus de la soinme d'un nombre quelconque d'arcs, quand on connaît les sinus et les cosinus de ces arcs. Soient, par exemple, a, b, c trois arcs quelconques; on a

si„ (« 4- 5 + c) ,-^, sin (« + 6) «ose + cos (-Ï -l- &) sine, cos(« + è-e) = cos{« + i)cos^-sin(^ + &)siaci

puis, en développant sîn [a -t- b) et cos [a -\- 5), il vient

sin(« 4- è-i-c) =; siii(!cos&cosc-v sîuZ'COSncosc H- sinccosocosè — sinasinô sine,

nus d'une somme de trois arcs, on pourra obtenir celles qui donnent le sinus et le cosinus d'une somme de quatre arcs, et ainsi de suite.

17. Tangektes et cotahgeïïtes. —Proposons-nous maintenant de trouver la tangente ou la cotangente de la somme de deux arcs, connaissant les tangentes ou les cotangentes de ces arcs.

Soient « et i deux arcs quelconques, positifs ounégatifs;

- i j cos « eus b^ûaa sin b

et, en divisant les deux termes de celte valeur detang(i-j4- b) parcosacosè,

(5) t.ms(« + i) =

tang(!-h tangy

ing«tang6 Si l'on change è en — ô dans cette formule, il vient

(6) tang(«-È)^-

h t;ins</taii

Pour avoir cot(<ï ■+- b) en fonction de cotcï et cotJ, il suffit de se rappeler que la cotangente d'un arc est l'inverse de la tangente de cet arc. Au moyen de cette remarque, on peut

23 THAITÉ de TRIGONOMÉTBIË.

écrire les équations (5 ) et (6) comme il suit :

cot{a-hb)= '' --, cotffl— è)r= — — -— ^ -

* ' cot«-+-coté ' ' cote — cotiî

On peut aisément, par ce qui précède, exprimer la tangente

de la somme d'un nombre quelconque d'arcs en fonction des

tangentes de ces arcs. Soient, par exemple, a, 5, c trois arcs

quelconques; on a

, , , 1 tansfû -4- S) + tansc

îans (a-hb -\-c)-== " ■ ■ . — '—-r-, — ^^— î

*"■ ' 1— tang(«+ 6)tangc

I 1 i\ 1 fange + tnng& et, en remplaçant tanE uz -h o) par sa valeur—- , ?

il vient

, , , taaea 4- tanaÔ + tanffc — tans-u taiigi tanec

tang Œ ^- & H- c) = 2 i^ ï^ 5__5-^ E-, .

^ ' 1 __ taûgiitangé — tango tangc — tango lange

Connaissant ainsi la formule qui donne la tangente d'une somme de trois arcs, on pourra obtenir celle qui donne la tangente de la somme de quatre arcs, et ainsi de suite.

Formules importantes déduites des formules relatives à l'addition des arcs.