On peut aussi Iransformer la somme ou la différence

de deux tangentes en un produit de lignes trigonométriques.

On a, en effet,

sinn sin b sinacni.b±cosa sitiô tangadicang6==--—— --y :=-—■-■- , ^

on aurait de môme

[<>} cot«ri;col6 ^ -

(,) cot»±t.ngS=^;im^.

Voici encore une formule qu'il convient de remarquer. Multiplions entre elles les deux égalités

sin(a-l-i'') = sinacos6-l-cos«siûA, siîi(« — b) = sma C056 — cosa sinS;

sii{« + &)sin(a-&) = sin'«cos'&-co5'«.m"/,

= (,-sin'S).in'«-(,-m=«)sin=^- = (I - cos=«)cos=i - (I - COS'^JCÛSV,

I sinffl + é)siTi[<2 — 6) = sin'a — sm=Z/ 1 ^cos'è — cos'o.

20. Somme des cosikbs ou des sikhs d'oke suite d'aucs e: vnOGEEssiow ARITHMÉTIQUE. — Soieut les n arcs

a, a-h/i, a-^-lh,..., a + {n~ l)h.

Désignons par j un nomljre entier quelconque; on a (ii" 18)

En donnant successivement à (les valeurs o, i, a,, . . ,k — i

»>(a + 70 = si

Ajoutant ces égalités membre à membre et faisant les réductions, il vient

enfin, en transformant le numérateur du second membre eu produit de sinus et cosinus, par les formules du n" 18, on a

cos« + cos(^ + A) H- cos{« + ih)^ . . . + cos[« +{n~ i)h}

Si dans cette formule on change a en - — «, et /( eu — /(,

yGoosle

20 TnAlTÉ DE TniGONOJlfiiniE.

Les deux formules précédentes donnent des expressions trèssimples pour la somme des cosinus de n arcs en progression arithmétique, ainsi que pour la somme des sinus de ces

Multiplication des arcs.

21. ExpEESsioMs DE sin 2a et de cos aa en fomctiom de sinn oTj be cosa. — Si, dans les formules

''^ \ cos(<(H-i)T=eos«cos6 — siûasmÈ,

on fait S := a, il vient

Ces formules (a) font connaître les valeurs de sinaaetde cos aa en fonction de srna et de cosa. Si l'on veut les exprimer en fonction de sin« oudecosa seulement, on devra rem-

sa par ^i — sin*«, ou sina par ^i — cos^iï ; on obtient

Il importe de remarquer <jue cos aa s'exprime rationnellement en fonction de cosa ou de sinn, tandis que sina« est une fonction irrationnelle de sina ou de cos«. Il résulte de là que, si l'on connaît la valeur de sina ou de cos«j cos a a est entièrement déterminé, tandis que la valeur absolue de sim^a est seule déterminée. Nous allons donner la raison de ce i'ait.

Supposons d'abord que la valeur de sin« soit connue, et posons

l'arc a est indéterminé, et ses valeurs, en nombre infini, sont données {n" 9) par les formules

é ayant b pour sinus. D'après