CHAPITRE PnEMIER

cela, les valeurs de sina^ sont données par les formules sin2^.^sm(4A-™ + 2a) = sin2«, sm2« z=- sm(4^-^ + 3^- 2«)= - sinaa;

et celles Je cosao sont

COS2a~:cos(4^7r H- 3K)=;C0S2a,

On voit par là que sinaa est susceptible de la double valeur ± sinaa, tandis que cosaan'a que la seule valeur cosaa.

La même chose a lieu si c'est la valeur de cos« qui est connue. Soit

cosa — h,

et désignons par « un arc déterminé ayant h pour cosinus ; les valeurs de a sont données par la formule

par suite, celles de sîn2« et de cosart le sont par les suivantes :

sin2« = sia[4A^-=:2a}=isin3«,

C0S2^ = cos(4A^:i:2«)^cos2«;

sin la a donc deux valeurs égales et de signes contraires, tandis que cos2« n'en a qu'une seule.

22. ExpRËssioHs DE sin3<7. ET DE cos3a en roMCTroN ue sina ou de cos<ï. — Si, dans les formules (i), on fait b =:2.a, on trouve

sin3a"sinacos2a-hcos«sin2«, cos3a = cosûcos2n — sin^sina-i;

en remplaçant sinaa et cosia par leitrs valeurs tirées des équations {2), on trouve

(4) [t^Z^lT^Î!!,^

formules qui font connaître sin3« et cos3fl en fonction de sinfl et de coso. En remplaçant, dans la première, cos^rtpar

TRAITÉ T>E iniGONOSlÉrRIE,

I et dans la seconde sin^a par i i cos3« = 4cos'«— 3cos«.

On voit que sin3iï et cos3ii sont exprimables rationnellement, le premier en fonction de sina, le second en fonction de cosfl ; au contraire, sin 3 a est une fonction irrationnelle de cosa, et eos3« une fonction irrationnelle de sina. Il résulte de là que, quand ou donne sina, sin3a est entièrement déterminé, tandis que la valeur absolue de cosSa est seule déterminée; au contraire, si l'on donne cosa, cos 3 a est déterminé, mais sînSane Test pas. On peut monti'er qu'il doit en être ainsi, par des considérations analogues à celles dont nous avons fait usage au n" 21 , et qu'il serait superflu de repro-

23. Si l'on connaît les valeurs de sin (m — i)a et do cos(to — i)(ï en fonction de sina et de cosa, on aura celles desin/naetdecosmrt, en posante ^=.[m — i) a dans les équations (i), qui deviennent alors

et en remplaçant sin [m — i) a et cos [m — i)a par leurs valeurs connues. On comprend comment on pourra calculer de proche en. proche, par celle méthode, les valeurs de sin4a et de cos4'ï, de sin5« et de eos5a, . . . , en fonction de sin« et de cûsa. Mais nous ne pousserons pas plus loin les calculs; nous donnerons d'ailleurs, dans la suite, une méthode générale pour former directement les valeurs de sin mu et de cos ma, quel que soit l'entier m.

24. Expressions DEtangaw kt tiv. tang3(ï eh fonctiou he langfl. — Si, dans la formule

(6) lang(a + ^)=.

tanga

on fait & = a, il vient

formule qui fait connaître tangaa en fonction de tanga. Si, dans la formule (6), on fait b = 2«, il vient

,ng3«=-

-tang^ ^

et, en remplaçant tanga a par sa valeur tirée delà formulai

- StiUig'n

Généralement, si la valeur de tang(m — \)a en fonction de tanga est connue, on aura tangîn« par la formule langn 4- tangf ni — i)«

- tang<ïtaT)g{m — ijfl

On pourra donc calculer successivement les valeurs de tang4a5 lang5«,. . ., qui seront toutes exprimées en fonction rationnelle de taugu. Nous donnerons dans la suite l'expression générale de tangma en fonction de tang«.

L'expression de cotma en fonction de cota se déduit immédiatement de l'expression de tangma en fonction de tanga; par exemple, en remplaçant dans la formule {"]) tang« et

tangsa par et — ■, il vient

° *^ cota cota a