CHAPITRE PnEMIER

et de cos-<3!; on sait aussi quelle est celle des deux quan-

lîtés qui a la plus grande valeur absolue. Cette considération permet de déterminer dans cliaque cas les signes qu'il faut

prendre danslcsformules (a) pour avoir les valeurs de cos— a et de sîn - a.

27. ExpBESSioN DE tang-a en Foisction de tanga. — Si, dans la formule

tango a = — ? ""^'^ ,

on remplace a par - «, il vient

taiigra =: — i^?Âf ;

d'où, en taisant

tanga = 6, tang - <; = ^,

on tire de là

Ci) - = "î±\/î= + --

Pour savoir ce que représentent ces deux racines de l'équation (3), soit CL un arc déterminé ayant b pour tangente; les valeurs de a seront données par la formule

cî celles de x par la suivante :

Si l'on prend pour k un nombre pair an, cette formule donne a;=r tangl me -\ — a] = tang- a.

34 TRAITÉ DE TEIGOMOMÉTBIE.

et, si l'on prend pour k un nombre impair 3 ra -[- i , elle dcniio X ^= tang 1 rnr H- — 1 k j tzt. tang I - -1- - h j ^ — cot - a ;

d'où il suit que x a les deux valeurs tang-c; et — coL-a, dont le produit est égal à — i .

Si l'arc a est donné, il est aisé de déterminer quelle est

eelled.es deux racines de l'équation (3) qui est égale à tang -o, car on sait d'avance quel est le signe de cette tangente. Supposons, par exemple, qu'on veuille trouver lang^-î sachant que lang-7^! ; on fera b = i dans la formule (4), qui donnera, parce que tang -k est positive,

ia„g: = ->-n/;.

28. On peut exprimer tang ~ « ec fonction de sinw et de cosfl par une formule qui est d'un usage fréquent. On a

liing - « = -

et, en se servant des formules établies précédemment, on trouve

En remplaçant sina par sj y — cos^a, on a encore tang^^^iy'—^.

29. Equation dont dépend cos^;- (jxiakd cosa est dohhé. — Si, dans la formule

on remplace a par — ? il v

ou, en posant

Cette équation est du trojsîcme degré, et l'Algèbre apprend qu'elle a trois racines réelles. On peut démontrer ce fait comme il suit : a étant un arc déterminé dont le cosinus est ô, les valeurs de a sont données par la formiile

et les valeurs de x le sont par la suivante :

où l'on doit donner à h toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives. Or, qticl que soit ^, on peut écrire

t étant l'un des nombres o, i ou a ; on a donc

ont des cosinus qui sont égaux respectivement (n" 9) à ceux

donc X a les trois valeurs distinctes

1 plus grand nombre.

36 TBAITÈ DE TRIGOMOMÉTItlE.

30. EqiîAtios dont dépemd sin-^ quand sinn est doivmé. — Si, dans la formule

on met ^ au lieu de «, il vient

sm« = 3.in2-/i™.;, et, en posant

on obtient l'équation

qui se déduit de celle du n" 29 en changeant â en — h.

Pour savoir ce que représentent les trois racines de cette équation, soit « un arc déterminé ayant b pour sinus; les valeurs de a seront données par les formules

et celles de x par les suivantes ;

Soit ft=;3rt-+' i, i étant l'un des nombres o, 1,2; ces formules deviennent

Mais les arcs

ont respectivement (n" 9) les mêmes sinus que les arcs