CHAPITRE PRKJHIEn

On retrouve ainsi les propositions connues de la Géométrie relatives au carré et à J'hexagone régulier. Si le rayon du cercle est représenté par ïl et que l'on désigne par D et P les côtés du décagone et du pentagone réguliers inscrits, les formules

p — m- V^ P __ V^io — 2v^5

donneront

La première de ces formules exprime que le carré du côté du pentagone régulier inscrit dans un cercle est égal au carré du côté du décagone régulier inscrit augmenté du carré du rajon.

La seconde formule montre que, pour obtenir le côté du décagone régulier inscrit dansun cercle, il suffit de construire un tnangle rectangle dans lequel les côtés de l'angle droit soient égaux, l'un au rayon du cercle, l'autre à la moitié de ce rayon, et de prendre ensuite l'excès de l'hjpoténuse de ce triangle rectangle sur le plus petit côté. La même formule peut s'écrire

et elle exprime alors que D est la moyenne proportionnelle entre R et R — D, c'est-à-dire que le côté du décagone régulier inscrit dans un cercle est égal à la plus grande partie du rayon difùé en moyenne et extrême raison.

Les formules établies aux n*" 33 et suivants conduisent ainsi naturellement aux constructions que l'on emploie en Géométrie pour inscrire dans un cercle un liexagone régulier et un décagone régulier j l'inscription du triangle équilatéral et du pentagone régulier s'ensuit évidemment. Quant à celle des polygones réguliers de i5 et de 3o côtés, elle peut s'en déduire aussi très-aisément; l'arc sous-tendu par le côté du polygone régulier inscrit de i5 côtes est effectivement égal à la diffé-

48 TRAITÉ DE TniGÛNOMÉTRIE.

rence des arcs sous-leiidus par les côtés de l'hexagone régulier et du décagone régulier, ainsi que npus en avons déjà fait la remarque.

Remarque sur les relations entre diverses lignes t rigonomélri/} ues.

40. Les formules relatives à l'addition des arcs et toutes celles que nous en avons déduites ont lieu quels que soient les arcs que l'on considère : ce sont, en conséquence, de véritables identités. En outre, ces formules permettent de faire subir diverses transformations aux expressions qui dépendent de plusieurs lignes trigonométriques, et de là résulte la possibilité de former autant de relations identiques que l'on voudra.

'Par exemple, nous avons trouvé au n" 35

et, en multipliant par cos«, il vient

■ JL - ■ ^

formule identique qu'on peut écrire comme il suit :

Considérons en deuxième lieu l'expression

sma -+- sinô -H sine — i cos- cos- cosdaus laquelle a, b, c désignent des arcs quelconques . Le dernier

i PKEJIIER.

e est égal à

l'expression proposée peut s'écrire, en conséquence, de la manière suivante ;

transformant ensuite en produits les sommes contenues dans chaque parenthèse, et remplaçant le dernier terme par

qui a lieu identiquement, quels que soient les arcs û, è, c. Ou voit que si ces arcs satisfont à la relation

dans laquelle n désigne un HOoibrc entier positif, nul ou négatif, on a

41. l'om' reconnaître si une équation, algébrique donnée Tng- S. 4

5o TRAITÉ DE TRIGOHOMÈTRIE-

eiitre diverses lignes trigonomé triques est identique, le moyei

le plus général consiste à préparer cette relation de k que l'un des arcs indéterminés qu'elle renferme n'y figure que dans les puissances d'une inÈme ligne tri gonomé trique. Si l'on ordonne ensuite par rapport à la ligne trigonométrique dont il s'agit, les coefficients des diverses puissances de cette ligne devront être nuls, et, en les égalant à zéro, on obtiendra plusieurs relations qui seront identiques et qui contiendront une indéterminée de moins que la proposée. On pourra opérer de la mêine manière stir ces dernières' relations, et, en continuant ainsi, on obtiendra des relations dont l'identité sera évidente si la proposée est elle-même identique ; mais dans la plupart des cas on arrive facilement à mettre en évidence l'identité des formules qu'on a occasion de considérer, en faisant convena blement usage des formules fondamentales que nous avons établies. Ainsi l'on vérifie immédiatement l'identité de la formule (2} en transformant en sommes les produits contenus dans chacun des deux membres. Quant à la formule (i), on la vérifie tout de suite en développant cbacun des sinus qu'elle

42. Si une équation entre diverses lignes tri gonomé trique s n'est pas identique, mais qu'elle soit satisfaite en établissant un certain nombre de relations entre les arcs qui y figiu-ent, on

pourra

éliminerunniême nombre d'arcs, et l'on obtiendra u

équation résultante qui devra être identique. Par exemple, la relation (3) n'est pas identique, mais elle est satisfaite si lesi arcs a, S, c sont assujettis à la relation

où n désigne un nombre entier. Pour vérifier ce fait, il suffira de remplacer c par (4« -hi)it — a — b et de constater Tidcntlté de la relation résultante

sia<î + sin& -i-sin(a-H &) — 4cos - cos- sin = 0;

l'identité devient manifeste en écrivant cette relation comme

On voit que la relation (3) est une conséquence de la relation (4} i mais elle est beaucoup plus générale que celle-ci; car, d'après la formule (2), elle est vérifiée, non-seulement par les valeurs de a, h, c qui satisfont à l'équation (4), mais encore par celles qui satisfont à la relation

3»— & — cH-ir 3* — c — « + ff

Ce n'est que dans des cas fort rares qu'une équation algébrique entre des lî^es trigonomé triques de plusieurs arcs peut être remplacée par une ou plusieurs relations algébriques entre les arcs eux-mêmes. En terminant ce Chapitre, nous donnerons un exemple dans lequel cette circonstance se présente.

Considérons la relation

si l'on remplace oos«-i-cosi par 2

.a . & . ..a . Jj

acos — cos asm" — sm -> et cosc

lation proposée devient

5a TII.*1TÉ DE TRICOKOMÉTRIE,

et, pour que celte relation ait lieu, il faut et il suffit que l'un quelconque des quatre arcs

soit égal à un multiple « ;: de la demi-circonférence. La relation proposée équivaut donc au système des quatre l'etations

« + 6+c = (4n 4-l)îr, — « + i^-c = (4« — l)7r,

I, Si l'on représente par S, ta somme des tangentes de m arcs a, b, c, . . . , fs, par S, la somme des produits deux à deux de ces mêmes tangentes, par Sj la somme de leurs produits trois à trois, etc., enfin par S„, le produit de toutes les tangentes, on a la formule générale

tang[« + 6 + .■ + ...+ ^-j = '[zT^X-—'

on demande d'établir cette formule et d'en conclure l'exprossion de langmn en fonction de tang«.

IL Les mêmes choses étant posées que dans la question pri'cédente, siii(nr-i-i+c4-...-i-/) = (S, — S,H-Si — ...jt:oso.cos6...cos^-,

COS[n-l-i-l-c+...^-^) = (l — Sj-i-Sj— .,.)cOBa,COS6...COsA-;

on propose d'étabîir ces formules et d'en conclure les expressions cly traîna et de coswa en fonction de sinu et de cosi.

in, Fonner l'équation dont dépend cos ■? quand cost est donné yt celle

dont dépend sin - quand sina est donné. Résoudre ces deux équations

dans les cas où « a l'une des valeurs o, tt, -> -, J;, —, et trouver

a 3 6 12 dans chacun de ces cas la signification des racines.

IV. La circonférence d'un cercle étant partagée en « parties égales, si des points de division on abaisse des perpendiculaires sur un diamètre

la somme des perpendiculaires situées d'un côté du diamètre sera ^ale à la somme des perpendiculaires situées de l'autre cûté.

V. Calculer les côtés des polygones réguliers de 3, 6, 5, lo, i5, ao, 3o côtés circonscrits au cercle dont le rayon est égal à l'unité.

VI. Trouver la relation algébrique entre les arcs n, b, c susceptibles de satisfaire à l'une des deux relations

tang(i + tang&-i- taiigc=: langn tangè tangc, cos'« + w&'b -t- Cûs'c A- -icosa cosi cosc = i.

ÏR.llTfl DE TRIGOMOMÉI'RIE.