CHAPITRE II

DES TABLES TRIGOKOMÉTRIQUES.

Propositions prèlin

■43. Pour faire usage des fonctions circulaires, il faut qu'on puisse calculer les valeurs des lignes trigonométriques d'un arc quelconque donné, et réciproquement trouver la valeur d un arc quand on connaît l'une de ses lignes trigonométriques. Pour arriver à ce but, il est indispensable d'avoir une Table qui fasse connaître les valeurs des lignes trigonométriques correspondant à des valeurs successives de l'arc comprises entre o et-i et dont l'intervalle soit suffisamment petit. Nous allons indiquer par quels procédés on peut construire une pareille Table; on verra ensuite comment, par le moyen de cette Table, on peut trouver les lignes trigonométriques d'un arc quelconque donné, et réciproquement trouver le plus petit arc positif correspondant à une ligne trigononiétrique donnée. Mais nous devons d'abord établir quelques propositions préliminaires indispensables pour l'objet que nous avons en vue.

4"i, TnÉoiiisME I. — Tout arc compris entre o et -est plus grand ijue son sinus et moindre i/ue sa tangente. FiK. ^.

Soient {/ig- 7) AM = x un arc compris entre o et - 5 MP le

3 BEUXIÈÎIE. 55

sinus et AT la tangente de cet arc. Prolongeons MP jusqu'à sa rencontre en N avec la circonférence , et menons la tangente TI; on aura

arcMAH > MN et arcAMI < AT -h TI.

Or l'arc x est la moitié de MAN ou de AMI, sin:c est la moitié de MS, et tangx est égale à ctacune des lignes AT et TI ; on

3?>>sîn.r et j; <; tangar.

Corollaire. — Si l'arc x décrott da-ào, le rapport

s approche indéfiniment de l'unité.

En effet, à catise de tangx.= -— j on peut écrire

^ ^ sîna:

ou, en divisant par siax^

Il suit de là que le rapport -r^^ est compris entre l'unité et la fraction dont la limite est l'unité pour a; = o ; on a

45. Théorème II. — L'excès d'un arc cçmpris entre o et ~ sur son sinus est moindre que le quart et même tjua le sixième du cuhe de l'arc.

Pour démontrer que la différence dont il s'agit est inférieure au quart du cube de l'arc, îl suffit de considérer l'ine'galité

[ang ~ > -

56 TRAITÉ DE TRIGOfTOMÉrniE.

établie au n** 44 ; en la multipliant par a cos^ - = 2(1 — sîn* - J >

on obtient

sina7>-a; — a^sin'- ou .r — sin^'C a^sin'-:

mais sin - est inférieur à - et, par conséquent, sïn* - est inférieur à -^- ; on a donc, à plus forte raison, 4 '

■40. Pour démontrer que la différence x — sinj; est inférieure k-yri on peut employer divers procédés; le plus simpk; consiste à prendre pour point de départ la formule

établie au n** 22; en y remplaçant x successivement par tt, ■^.-1 ■ • ■ ^ j-j on obtient

en ajoutant ces égalités, après les avoir multipliées respectivement par 1 , 3,3^,..., 3"""', il vient