Les théorèmes qui précèdeul fournissent ainsi deux li
m.ites, savoir x et x— ■— j entre lesquelles est compris sinj;.
On peut en déduire facilement deux limites entre lesquelles se trouve compris cosx; on a, en effet,
et, comme sin - est compris entre- et -r?! on a d'abord
puis
et, à plus forte raison.
Ainsi cosx est compris entre i — — et i ■ '" ^ "
Su- TRAITÉ DE THlGONOMÉTltlE.
Division de la circonférence.
"iS. Jusqu'ici nous avons exprimé les arcs par leurs rapports au rayon; mais, dans les applications de la théorie des fonctions circulaires, il est beaucoup plus commode de les rapporter à la circonférence. A cet effet, on est convenu de partager la circonférence entière du cercle en 36o parties égales, auxquelles on a donné le nom de (fegreVj en sorte que la demi -circonférence renferme i8o degrés, elle quadrant godegrés. Chaque degré se subdivise en 60 minutes, et chaque minute en 60 secondes. Les degrés, minutes et secondes se représentent par ", ', "; les arcs moindres que i" s'évaluent en fraction décimale de la seconde. Ainsi tm arc contenant aS degrés ay minutes 3 1 secondes et 8 dixièmes de seconde sera représenté par
Si l'on désigne par ^ la longueur d'un arc, par!N le nombre des degrés contenus dans cet arc, on a l'égalité
qui fera connaître l'un des nombres a; ou N quand l'autre sera connu. La seconde étant prise pour unité, si l'on demande le nombre x' des secondes contenues dans l'arc x, on se servira de la formule
Veut-on, par exemple, avoir le nombre des secondes contenues dans l'arc égal à i , on aura
la valeur de tc est
îT = 3,i4i59?,653589;j93 23846.' - , et, en poussant le calcul jusqu'aux millièmes de seconde, on trouve
.■c' =:3o6aG4",8o6^57''i7'44")8o6.
CHAPlIBlî DEUXIÈME. 09
Construclion d'une Table de sinus et de cosinus.
■49. Pour avoir les lignes Irigonomé trique s d'un arc quelconque, il suffit de connaître celles des arcs compris entre o et go degrés. On peut même se borner aux arcs compris entre o et 45 degrés, car deux arcs complémentaires, tels que 45" + x et 45" — :v, ont les mêmes lignes trigonomé triques. Eu outre, si les sinus et les cosinus sont connus pour tous les arcs compris entre o et 45 degrés, les quatre autres lignes trigonométriques pourront être déterminées au moyen de relations que nous avons établies au n" 11 .
Cela posé, nous allons montrer comment on peut construire une Table des sJnus et des cosinus de tous les arcs de 10 en 10 secondes, depuis o jusqu'à 45 degrés.
SiHDS ET COSINUS DE l'akc de 10 SECOHDES. — Désiguons par sla longueur de l'arc de 10 secondes; on aura {ii" 48)
lOsr __ TT
'■^648^^648^' et l'on trouve, en effectuant la division,
. = 0,00004 848i368iio....
On a ensuite (n" 4S)
on a donc
sinro"<o, 00004 843i3ti8MO, sin 10" > o,ooao4 8481368089.
Ces deux limites de sin 10" ont les douze premières décimales communes, et l'on voit qu'on a, à moins d'une demi-unité du treizième ordre décimal,
sin 10" = 0,00004 8481 3 681.
lO TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
Calculons maintenant cos lo"; on a (47)
;t <:^o,oooo5 ou <^ -
d'où il suit que i— ~ estune valeur de cos s approchée ii moins
d'une demi -uni té du dix-huitième ordre décimal. En se bornant aux treize premières di^cimales, on trouve
cos 10" = 0,9999g 999^^ 24B.
ëO. SmuS ET COSINUS DES ARCS DE lO EN 10 SECONDES, DK-
pDis o jusqu'à 45 DEGRÉS. — Si, dans les formules
sin{iî -!- Ô)-f- Sin(a— ftjrr;: 2C0SÈSill(Z, cos {a + 6} -^cos{« - b] =-- 2cos&cos«,
on pose = (m-.)'
h, il vient
i sin»(& r:^ 2 Cl 1 cosm&;=: 2 Cl
os&sin(m —
i)&sin
ïsicos(/n~
i]è-cos
En prenant i=^io"et en faisant /n^^ 2, ces formules donneront les valeurs de sin2o"et de cosao". Et généralement, quand on connaîtra les sinus et les cosinus de deux multiples consécutifs de l'arc /> = 10", les formules (i) feront connaître le sinus et le cosinus du multiple suivant. Mais on peut abréger les calculs en opérant comme il suit ; le multiplicateur constant 2 cos 10" diffère peu de deux unités; en posant
2C0S10" = 2 — /■-, on a
CaiPlTRE DEUXIÈME. t)l
elles formules (i) deviennent
''/[ooflm*oob(™-.)S]-[^9[m-OS-co9(«.-i)i]-Uos(™-,)*. Ces formules (2) serviront à calculer les dilTérences \ ,mm*-,ir>(»-,)S,
au moyen des dîlïerences précédentes,
qu'on a préalablement calculées, ainsi que sin(m — i) h et cos [m — i) b. Ajoutant ensuite respectivement aux (tifiërenccs (3) les valeurs connues de sin (m — i)ietdecos(m — [)5, on aura sinnib et costnl».
Les différences (3) se déduisent facilement des différences calculées (4); il suffit, en effet, pour cela, de retrancher respectivement de celles-ci les produits ft sm[m — i] è et Acos(m— -i)& dont l'un des facteurs est constant, et ces produits se calculeront assez rapidement, si l'on a eu soin de former une Table des produits de k par les neuf premiers nombres.
51. Quelque pénibles que soient les calculs dont nous venons d'indiquer la marche, on conçoit maintenant la possibilité de former la Table des sinus et des cosinus de tous les arcs de 10 en 10 secondes depuis o jusqu'à 45 degrés. Il y a lieu, toutefois, de rechercher quelle sera sur les divers sinus et cosinus calculés l'influence des erreurs qui ne peuvent manquer de s'accmnuler dans le courant des opérations. Nous sommes partis des valeurs de sin 10" et de cos 10" calculées à une demiunité près du treizième ordre décima! ; nous supposerons que dans tous les calculs subséquents on conserve un nombre p, de décimales; on verra quelle valeur il faut donner à f* pour obtenir l'approximation que l'on désire. Nous désignerons
généralement par «„ la valeur approchée de sinwi . lo" ou de cos/K.io" calculée comme on va l'expliquer avec;/ décimales, et par «„-T-e„ la valeur exacte; au moyen de cette notation, on peut écrire comme il suit l'une quelconque des équations (i),
Les valeurs œ,„i et «„,2 ayant été calculées avec fi, décimales, on calculera le produit (2 — ft)«,„i aussi avec /:/ décimales et l'on retranchera ct,„a de ce produit approché; la différence seraa^,. On a donc
en désignant par Ç,„ l'erreur positive ou négative que l'on commet en substituant à (a — ^)ci^^i la valeur approchée de ce
produit à — ^près. Des deux équations précédentes on déduit
mais la quantité Aî,„„i est très-petite par rapport à 2e,„i et l'on peut la fondre dans ^„ sans que la limite supérieure de cette dernière quantité soit altérée d'une manière sensible; ainsi nous pouvons écrire simplement
Faisant successivement m := 2, 3, . . . , m, et remarquant que So est nul, puisque aucune erreur n'est commise sur sino et
Ajoutant toutes ces égalités, il vient
yGoosle
GBAFITRE DEUXIÊftlE. 63
chacune des quantités ^3, Ç3, . . . est moindre en valeur absolue que ■— ) et il en est de même de leur moyenne arithmétique ; en désignant par $„ cette moyenne arithmétique, l'équation précédente devient
ai l'on doiîue à m les valeurs successives 2, 3, . . . , m, il vien!;
Or la valeur absolue de s, est <; - — - 1 et la valeur absolue de chacime des quantités Ô^, as,. . . est moindre que — :;; d'ailleurs la somme H- a -H 3 -1- . . . + ("J — i)estégaleà — ;
donc on a, en faisant abstraction du signe de s,„,
Cherchons, d'après cela, quelle peut être l'erreur commise siu- le sinus et le cosinus de l'arc de 45 degrés dont le calcul termine la série des opérations. L'arc de 45 degrés contenant 16200 fois l'arc de 10 secondes, faisons m = 16200: l'inégalité précédente devient
et l'on aura, à plus forte
^^^10" IOl'~"
Si l'on prend fx= 17, la seconde fraction devient égale à -^^i et l'on a
ainsi l'erreur commise sur sin45''ousur cos45" sera moindre que le quart d'une unité du huitième ordre décimal.
Il résulte de ces développements qu'en partant des valeurs de sinio" et de cos 10" obtenues à une demi-unité près du trei/.ièrae ordre décimal, et en calculant avec 17 décimales les sinns et les cosinus des arcs suivants, on pourra certainement compter sur 8 décimales exactes jusqu'à l'entière terminaison de la Table.
82. Mais quand il s'agit d'exécuter tant de calculs, il est indispensable de soumettre les résultats obtenus à des vérifications fréquentes. Aussi, avant de commencer les opérations, doit^jn calculer directement les sinus et les cosinus d'un certain nombre d'ares, afin d'avoir plus tard des termes de comparaison en nombre suffisant; par exemple, nous avons donné (n°^ 37 et 38) les expressions des sinus et des cosinus des
laultiplcs de ^5 c'est-à-dire des arcs do 3 en 3 degrés ; il sera
convenable de calculer ces sinus et ces eosînns avec un nombre suffisant de décimales ; si l'intervalle de 3 degrés paraît trop considérable, on pourra le réduire à la moitié ou au quart, en se servant des formules
et de celles qui sont relatives à l'addition et àla multiplication des arcs; on pourra ainsi très-aisément construire une Table préliminaire très-exacte contenant les sinus et les cosinus des multiples de 4 5 minutes ou ajoo secondes. Cette première Table n'aura pas seulement l'avantage de fournir des moyens de vérification, mais elle permettra aussi d'obtenir une plus grande exactitude dans les calculs relatifs à la Table défini-
