CHAPITRE DEUXlfcjlE

tive. parce que de ayoo en 2700 secondes les sinus et les cosinus pourront êtrû connus avec toute la précision que l'on voudra. Enfin, lorsque la Table entière est construite, on peut encore la vérifier d'autant de manières que l'on voudi'a au moyen de la formule identique

!in(9„. - «) + ,i„(,8- - .,) + sin(.S- + .] = ,m(54--«) + ,m(54" + ^),

établie au n" 40, et au moyen d'autres formules du même genre.

Bien qu'on puisse construire la Table entière par le procédé du n" SO, on doit s'arrêter dès que l'on est arrivé à l'arc de 3o degrés. Effectivement, lorsqu'on aura calculé les sinus et les cosinus des arcs de 10 en 10 secondes, depuis zéro jusqu'à 3o degrés, on pourra obtenir les sinus et les cosinus des arcs compris entre 3o et 45 degrés, par la simple soustraction.

En effet, en se rappelant que sin3o''=: -1 on a (n" 18)

.m(3o- + ^) + si

tire

cos(3o--:-..) = c<

ces formules permettent d'obtenir, par un calcul facile, les sinus et les cosinus des arcs au-dessus de 3o degrés, lorsque l'on connaît les sinus et les cosinus des arcs au-dessous de 3o degrés, et leur emploi diminue notablement le travail de la construction de la Table.

Le procédé que nous avons exposé est celui qu'ont employé les savants à qui l'on doit la première construction des Tables de sinus et de cosinus. L'analyse a fourni depuis des méthodes beaucoup plus cxpédttives pour remplir cet objet; ces méthodes consistent dans l'emploi des différences, et elles rc-

5o TRAITÉ i)Ë TRIGONOMÉIRIH.

posent sur les formules qui expriment le sinus et le cosinus en fonction de l'arc. Nous établirons ces formules dans le Chapitre V.

Tables des logarithmes des fonctions circulaires.

S3. Dans les applications numériques, on opère toujours par logarithmes : aussi a-t-on bien plutôt besoin de connaître les logarithmes des sinus, des, cosinus, etc. , que ces lignes trigonométriques elles-mêmes. Or les sinus et les cosinus des arcs de lo en lo secondes ayant été calculés, on pourra former la Table de leurs logarithmes. Cette Table une fois construite, on formera ceUe des logarithmes des tangentes et des cotangentes au moyen des formules

log tanga; = log siax — log cosa^,

Quant aux sécantes et aux cosécantes, elles ne sont point employées ; d'ailleurs leurs logarithmes sont égaux et de signes contraires aux logarithmes des cosinus et des sinus {*).

Les Tables de logarithmes des sinus, cosinus, etc. les plus usitées sont celles de Callet ; nous allons en indiquer la disposition et l'usage, mais nous avons auparavant une remarque importante à faire.

Les sinus et les cosinus des arcs de zéro à 90 degrés, les tangentes des arcs de zéro à 45 degrés, et les cotangcntes des arcs de 45 à 90 degrés sont inférieurs à i, en sorte que leurs logarithmes sont négatifs. On a voulu éviter, dans les Tailles de Callet, l'emploi des caractéristiques négatives, qui est pourtant préférable, et l'on a ajouté 10 à tous les logarithmes négatifs; il faut donc toujours avoir soin de supprimer ces 10 unités.

(*) On trouvera dans le Chapitre V les formules an moyen desquelles on pent flalcular directement, et avec l'approximation qu'on désire, les logarillimcs dea sinoa, des cosinus, dos tangentes et des cotangentos de tous les arcs.

Disposition des Tables de Callet.

S4, La première de ces Tables contient les logarithmes des sinus et des tangentes de seconde en seconde pour les cinq premiers ttegrés avec sept décimales; mais le sinus ou la tangente d'un arc étant le cosinus ou la cotangente de son complément, cette Table donne aussi les logarithmes des cosinus et des cotangentes des arcs au-dessus de 85 degrés.

Les degrés sont marqués hors du cadre en haut et en bas de chaque page ; les minutes occupent la première et la dernière ligne, les secondes la première et la dernière colonne. Chaque page à gauche ne contient que des sinus et des cosinus, et chaque page à droite que des tangentes et des cotangentes, ainsi qu'on le voit par les titres de ces pages.

Les Tables suivantes contiennent les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de lo en lo secondes pour totis les degrés du quart de cercle. On y remarque les degrés écrits hors du cadre en haut et en bas de chaque page. Les minutes et secondes qu'on y voit à la première et à la seconde colonne se rapportent aux degrés qui sont écrits en haut; les minutes et secondes qu'on y trouve à la dernière et à l'avantderniére colonne se rapportent ans degrés qui sont marqués au bas de la page.

La troisième colonne contient les logarithmes des sinus des arcs dont les degrés sont indiqués au haut de la page, et dont les minutes et les secondes sont marquées dans la première et dans la seconde colonne. La troisième colonne est intitulée sinus, mais il faut lire logarithmes des sinus. H en est de même des autres. La quatrième colonne contient les différences des logarithmes des sinus, ainsi que son titre l'annonce; chaque nombre de cette colonne n'est pas dans l'alignement de ceux de la colonne précédente : ils se trouvent tous descendus d'une demi-ligne, et chacun d'eux exprime la différence qu'on aurait si l'on soustrayait l'un de l'autre les deux logarithmes entre lesquels il se trouve. Les colonnes cinquième et sixième contiennent les logarithmes des cosinus des mêmes arcs et

68 TilAITÉ IDE ■l'RlGOKOSlÈTRIE.

leurs différences; les colonnes septième et huitième contiennent les logarithmes des tangentes et leurs diUerences; enfin la neuvième colonne contient les logaritlinies des cotangentes des mêmes arcs-, leurs différences sont les mêmes qae celles des logarithmes des tangentes (*) : c'est pour cela qu'on a intitulé la colonne gui contient ces dernières différences communes.

Si l'on ne considère que les degrés qui sont à la tète de chaque page, on croii'a que les Tables ne s'étendent que jusqu'à 45 degrés ; m.aîs si l'on observe que chaque colonne a deux titres; que la colonne marquée par en haut sinus est marquée par en bas cosinus; que celle qui est intitulée par eu haut cosinus est intitulée par en has sinus; qu'il en est de même des tangentes et des cotangentes, on verra qu'en consultant les degrés, ainsi que les titres des colonnes qui sont en bas de chaque page, et les deux dernières colonnes vers la droite des mêmes pages, on aura les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes des degrés, minutes et secondes depuis 45 degrés jusqu'à go degrés.

Usage des Tables.

5S. Problème I. — Connaissant le nombre des degrés, minutes et secondes d'un arc moindre que 90 degrés, trouuer le logarithme du sinus, du cosinus, de la tangente ou de la cotangente de cet arc.

Pbemier cas. — Si le nombre donné est composé de degrés, , de minutes et de dizaines de secondes, on cherchera d'abord le nombre des degrés parmi ceux qui sont écrits en haut ou en bas des pages ; en haut s'il est moindre que 4^ degrés, au bas

tan i;(:r 4-^1 ^ cotj; ^ tangJ! eot(j: -i- h)

[■enant les logarithmes, logtans(j: + A) — log iaDga: =ï logcotJt — logeotfx-

cniPiTRE DEoxiÈnn. 69

s'il est plus grand. On suivra la première colonne qui va en croissant de haut en bas, si le nombre des degrés se trouve en haut de la page, ou la dernière qui va en croissant de bas en haut, si le nombre des degrés se trouve en bas ; on suivra, dis-je, l'une ou l'autre <le ces colonnes dans le sens suivant lequel elle croit, jusqu'à ce qu'on rencontre le nombre des minutes données ; on passera dans la colonne des secondes sans quitter la ligne des minutes trouvées ; on suivra dans le même sens cette colonne, on y trouvera les dizaines de secondes, et sur la même ligne le logarithme du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangcnte que l'on cherche.

Veut-on, par exemple, le logarithme de la tangente de 'jg°5i'^a"; '^ç) degrés se trouvant au bas de la page, on montera le long de la dernière colonne qui va en croissant de bas en liant : on trouve 3i minutes dans cette colonne; on passe .à la colonne précédente, qui est celle des dizaines de secondes; on monte le long de cette colonne, et l'on rencontre 4» secondes; sur la môme ligne et dans la colonne marquée par en bas tangente, on trouve 0,7472657. C est le logarithme cherché. On a ainsi

logtang(79"5i'4.o") — 0,7475657.

Veut-on, pour second exemple, le logarithme du sinus de 2''24'5o"; 2 degrés se trouvant en haut de la page, on descend le long de la première colonne qui va en croissant de haut en bas : on trouve 24 minutes dans cette colonne; on passe à la colonne suivante, qui est celle des dizaines de secondes ; on descend le long de cette colonne et l'on trouve 5o secondes ; sur la même ligne et dans la colonne intitulée par en haut sinus, ou trouve 8,6244662. C'est le logarithme cherché, augmenté de 10 unités. On a ainsi

bj si!i(2" 24' 5o"} = 5,6244.662.

Deuxième cas. — Si le nombre donné contient en outre des unités de secondes et des fractions de seconde, on commencera par réduire les fractions de seconde en fraction décimale; on cherchera ensuite, comme nous venons de l'expliquer, le lo-

garitliine du sinus ou. de la tangente de l'arc donné, en faisant abstraction des unités et des fractions décimales de seconde, dont nous désignerons l'ensemble par h. On prendra ensuite la différence A qui existe entre le logarithnie trouvé et celui qui vient immédiatement après lui, en allant de haut en bas ou de bas eu haut, selon la marche que l'on suit; enfin on ajoutera au logarithme trouvé le nombre A', déterminé par l'équation

et l'on aura le logarithme ch.crché. A' et A expriment ici des unités du septième ordre décimal : on prendra donc pour A' la

partie entière du produit — X A; mais il conviendra d'augmenter cette partie entière d'une unité, si la fraction que l'on néglige est supérieure à o,5.

Si l'on veut le logarithme du cosinus ou de la cotangente de l'arc donné, on augmentera d'une dizaine le nombre des secondes de l'arc, et, après avoir supprimé les unités et les fractions de seconde, on obtiendra un arc qui surpassera l'arc donné d'une certaine fraction décimale h de seconde, on cherchera le logarithme de son cosinus ou de sa cotangente, et

l'on ajoutera — au résultat, A étant ici la différence qui existe

entre le logarîtlime trouvé et celui qui le précède immédiatement en allant de haut en bas ou de bas en haut, suivant la marche que l'on suit.

La règle que nous venons d'exposer repose sur le principe

Si l'on donne successivement à im arc quelconque deux petits accroissements, les accroissements correspondants du log sin ou du log cos, etc., sont sensiblement proportionnels aux accroissements de l'arc.

Ce principe n'est pas rigoureusement exact, mais en 1 appliquant on obtient une approximation suffisante, excepté dans le cas que nous examinons plus Las. On peut le vérifier au