CHAPITRE DEUXIÈHE. 7I

moyen, des Tables elles-mêmes; on reconnaît effectivement que dans une étendue assez grande, sauf au commencement des Tables, les différences des log sin, ou des log cos, ou, etc., sont sensiblement constantes^ il s'ensuit que, pour des accroissements égaux donnés à un arc, le logaritlime du sinus ou du cosinus, etc. de cet arc prend des accroissements sensiblement égaux.

Nous indiquerons par des exemples le type du calcul.

1° Trouver le logarithme de sin(49''53'24",3).

Log sin(49»53' 20") =7,88354% i^.ii']

Pour 4"'3 96 17,7 X 4'3 = 76,'!

Log sin (49"53' i^" , 3) = 7,8835535

2" Trouver le logarithme de cos(36''35'36",3).

Log cos(36°35'4o'') = 7,9046481 A — i56

Pour 3", 7 58 r5,6x 3,7 =57,73

Log cos( 36° 35' 36" , 3) = i , 9046539 3" Trouver le logarithme de tang {79" 5 1'47") Logtaiig(79"5i'4o'')= 0,7475657

Loê-tang(79"'5i'47"ï2)=; 0,7476532

4" Trouver le logarithme de cot ( 23° 1 7' 22", 3 ) . Logcot>(?.3''i7'3o") = o,366o3i3 i=:58o

Pour 7", 7 447 58 X 7,7 =44^160

Log cot (aS" 17' 22''', 3) ^0,3660760

TuoisiÈME CAS. — Si les différences qu'on trouve dans la Table varient trop, ce qui arrive lorsque l'ai'c donné est trèspetit, la métbode précédente ne comporte plus une précision suffisante; voici comment il faut alors opérer. L'arc donné étant exprimé en secondes et en fraction décimale de la seconde, soient a la partie entière et /î la fraction décimale ; pour avoir logsin{a-i- A) et Iogtang(rt -f-/i), on peut admettre que le rapport des arcs très-petits a et a -}- A est égal au rap-

^2 TBAITÉ DE TRlGONOHÉTniE.

poi't des sinus ou des tangentes de ces afcs ; posons donc siii (« + //) Oj^rJl tang(a + /i) a-^-h

log sm((i! + A) = log svaa + log(<i 4- à) — loga, 1- A)=:logtaiigii + log(a + A) ~ bgn.

Oïl prendra log sina ou log tanga dans la première partie de la Table, log (a -H /t) etiogadans la Table des logarithmes des nombres, et l'on aura ensuite log sin {a-\-h) et log tang(fl + A) par les formules précédentes.

Veut-on, par exemple, le logaritlimedu sinus de o"3'27", 355; cet arc réduit en secondes est égal à 207", 355; on a donc .3r=207, A^=o, 355. Le logarithme de sin (3'2/') est 3, 001 545 1, le logarithme de 20^,355 est 2,316714^; celui de 207 pris avec le signe — est 3,6840297; en ajoutant ces trois logarithmes, il vient

log sin(o<' 3' 37", 353) = 3 , 0022893.

Si l'on demande le logarithme de la cotaugente d'un très-petit arc, il faudra chercher le logarithme de la tangente, ainsi qu'il vient d'être indiqué, puis on changera le sigue de ce logarithme.

S'il s'agit du log cos d'un très-petit arc a -\- h-, on a

log cos(« -I- k) ^logsii!(ii -i-/() — log tang(a -i- à),

formule par îa<juelle on aura log cos ( a -i- A) après avoir déterminé comme ci-dessus le log sin et le log tang de a + h. Mais cette formule devient, en vertu des équations écrites plus haut,

log cos (a -i-/(}=:logsini! — logtaugii^Iogcoai!;

d'où il suit que les arcs a -\- h et a ont leurs log cos sensiblement égaux : c'est, du reste, ce que montrent les Tables, Supposons qu'on demande le log cos de o''3'a7",355 ; cet arc

s DEUXIÈME. 73

tombe entre 3' 20" cl 3'3o", arcs dont les cosinus on' le même logaritlune 1,9999998: on a donc

iog cos{o° 3' 27",355) =7,9999998.

S6. Problème II. — Le logarithme d'un sinus, d'un cosinus, d'une tangente et d'une coîangcnte étant donnèj trouver le nombre de degrés, minutes et secondes de l'arc auquelil appartient.

Premieh cas. — On cherchera le logarithme donné dan;; l'une quelconque des deux colonnes gui ont pour titre la ligne: trigonométrique à l'expression nume'rîque de laquelle le logarithme donné appartient. Si on le trouve parmi ceux qu'elle contient, on observera à quelle extrémité de la colonne est le titre qu'on a consulté : si ce titre est en haut, on jettera les yeux sur la seconde colonne à gauche, et dans 1 alignement du logarithme on trouvera un nombre de dizaines qui exprimera les secondes de l'arc cherché. On passera à la première colonne ; si l'on y voit un nombre dans le même alignement, il sera celui des minutes cherchéesj sinon on montera le long de cette colonne, et le premier nombre qu'on rencontrera sera celui des minutes ; enGn en haut de la page on trouvera hor.i du cadre le nombre de degrés demandé. Mais si le tilrc en question est au bas, iî faut recourir à l'avant-demière colonne vers la droite, qui donnera de même les secondes ; passer ensuite à la dernière colonne, sur laquelle on trouvera les minutes cherchées, soit dans la même ligne, soit en descendant le long de cette colonne. Enfin on trouvera au bas de la page, et hors du cadre, le nombre de degrés demandé.

Veut-on, par exemple, le nombre de degrés, minutes et secondes de l'arc dont le logsin est i,354i8o3; on cherchera ce logai-ithme dans l'une des deux colonnes qui sont intitulées sinus, sans s'embarrasser de savoir si ce titre est en haut ou en bas de la colonne; l'ayant trouvé, on observe que le titre sinus est en haut de la colonne : on consulte la seconde colonne à gauche, et l'on trouve 00 dans l'alignement de 9,354 'fio3; on passe à la première colonne, on n'y voit rien

74 TBMTÉ EE TRIGOKOBÈTHIE.

dans le même alignement; mais en montant on rencontre 3 dans celte colonne : enfin, en Laut de la page et hors du cadre, on trouve i3 degrés. Le nombre demandé est donc i3°3'5o".

Deuxième cas. — Si le logarithme donne ne se trouve pas dans les Tables, ce qui est le cas le plus ordinaire, on cherchera les deux logarithmes entre lesquels il est compris ; on prendra celui de ces deux logarithmes qui est du côté du titre de la colonne dont on a besoin; on le retranchera du logarithme donné, ou l'on en retranchera celui-ci, selon que l'tin sera plus grand ou plus petit que l'autre; on aura ainsi une différence A', et, en appelant A la différence tabulaire des deux logarithmes entre lesquels est compris le logarithme donné, on déterminera le nombre h par l'équation

^i' d'où k = ^^-

Le nombre ft moindre que lo exprimera les unités de secondes et fractions de seconde de l'arc cherché. Quant aux degrés, minutes et dizaines de secondes, on les obtiendra en substituant au logarithme donné celui de la Table qui en diffère de A', et en suivant la marche indiquée dans le cas précédent. Nous indiquerons par des exemples le type du calcul.

i" Trouver l'arc dont le iog sin est 7,8835535.

Logsin^^ 1=7, 88355:^5

Pour 1,8835459 49''53'30'' A = 177

A'xio 760 4". 29

^ = 49<'53'24'',;29 2° Trouver l'arc dont le logcos est 1,9046039. Log COSa; ;=:i i , 9o46539

Pour 7,9046637 ae-as'So" a — i56

A'Xio 980 6",3

yGoosle

CnAPITRE Dl!UXlÈnli£. ^

3° Trousser l'arc dont le log tang est o,y476532.

liogtanga^ = o,747'^53^

Pour 0,^47^657 ^9''5i'4o" A =:=i3i5

i'Xio 8750 7",2

4" Trouver l'arc dont le log cot eif o,36'6o^6o.

Logcot.r =: 0,3660760

Pour 0,3660892 23" i7'2o" a. = 58o

ÏBotsiÈME CAS. — Si les différences des Tables varient trop, la marche qu'on vient d'indiquer cesse d'être applicable. Le cas dont il s'agit se présente lorsqu'on a à déterminer un très petit arc par son log sin ou par son log tang ; voici comment il faut alors opérer. On ehcrcliera dans la première partie de la Table le logarithme qui s'approche le plus du logarithme donné, et l'on réduira en secondes les degrés et les minutes de l'arc correspondant; désignons par a le nombre de secondes ainsi obtenu et par a -\-h\a nombre exact de secondes contenues dans^ l'arc inconnu; on déterminera « + /; par l'une des deux équations

log(« -h h) -.z= log sin (a + A) - lûg sia « -I- l<)g«, log(n -\-h) = logtang(« + h) ~- logtanga + logfz,

que nous avons déjà mentionnées en traitant du problème inverse de celui qui nous occupe.

Veut-on, par exemple, le nombre des degrés, minutes, etc., de l'arc dont le logarithme du sinus est 3,0022893 ; on trouve que le logarithme tabulaire qui approche le plus de ce logarithme est 3,ooi545i ou — 2,9984549, et ce logarithme répond à l'arc de o" 3'27" ou de 207 secondes ; le logarithme de 207 est 2,3 169703; ajoutant ensemble les trois nombres 3,0022893; j,3i597o3, on a pour somme 2,3167145. Ce

^G TilAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

logarithme répond au nombre 20^,355 ; l'arc cherché est donc 207", 355, oiio*'3'2j'',355.

On opère de la môme manière pour déterminer un trèspetît arc quand on connaît le logarithme de sa cotaugente, puisque ce logarithme est égal et de signe contraire à celui de la tangente.

Mais, lorsqu'il s'agit de déterminer un très-petit arc par le moyen du logarithme de son cosinus, il est impossible de le faire avec précision. Veut-on, par exemple, connaître l'arc dont le cosinus a pour logarithme 1,9999991, la Table montre que ce logarithme répond à tout arc compris entre 6'45''' et ^25"; l'arc demande ne peut donc être obtenu qu'avec une incertitude de 4o secondes.

S7, La solution des deux problèmes dont nous venons de nous occuper repose sur l'égalité approximative

posons

e et s mesureront les erreurs commises en appliquant la formule (i) dans le calcul de A' {premier problème) et dans le calcul de h (deuxième problème). Or on démontre, par des considérations qui ne peuvent trouver place ici, que e est toujours moindre qu'une unité du septième ordre décimal si l'arc dont on calcule le log sîn ou le log tang surpasse une certaine limite inférieure à 5 degrés, et que la même chose a lieu, paisuite, si l'arc dont on calcule le log cos ou le log cot est supérieur à 85 degrés. L'emploi de la formule ( i ) est donc légitime, entre ces limites, dans la solution du deuxième cas du premier problème. Ou démontre aussi que l'erreur s relative au deuxième problème est plus petite qn'un centième de seconde, si l'arc que l'on calcule diilère de zéro ou de 90 degrés d'une quantité plus grande qu'une certaine limite inférieure à 1 ^ degré, et que cette erreur t devient absolument insen-

CBAPITHE DEUXIÈSIII. 77

sibJe si l'arc que l'on calcule s'écarte de quelques degrés des limites zéro et go dcg^rés ; d'où il suit que l'emploi de la formule

est légitime dans la solution du deuxième cas du deuxième problème entre les limites que nous venons d'indiquer (*).

Mais l'erreur commise dans le calcul de h ne provient pas seulement de la quantité s que l'on néglige ; les logarithmes dont A et A' expriment les différences sont afï'ectés d'une certaine erreur; et si ccîle erreur reste au-dessous d'une demi unité du septième ordre décimal pour les logarîllimes de la Table, elle peut être beaucoup plus considérable pour le logarithme donné, qui le plus souvent est le résultat d'opéralions exécutées sur des nombres qui ne sont connus qu'approximativement. Admettant, par exemple, que l'erreur de A' soit d'une unité de l'ordre du dernier ehillre, l'erreur de h.

(*) Si l'on désigne par M le module des loautlllimes vulgaires, et ]>av B un nombre eompris antre ïéro et 1, on », d'après une formule connue (celle cIh Taylor), «n prenant la seconde pour uiiilé,

loeBin(a:-HA) — logsiiia: = MSBini'ï?i5- M ? ■■ ' . °'" ' .

OéBignona par A la valeur du premier iiiembca poui- h = 10, et par i' la valeur de ce premier membre pour fi < ] ; appelons aussi 3- la valeur que prend

on liéduiC de ia formule prccédenle

h étant infijcieur à 10, la valeur absolue da 11 on a donc

^r>oMsin'T"

ces résulcufs on pout vérifier la légitimité de nos nssertions, pour 10 les logsin et les logeas; on déduit ensuite immédlal^moQt dalîi ions sont vraies aussi à l'égard des log lan(t.

en négligeant celle de A, sera - lo"; d'où il suit que la précision obtenue dans le calcul d'un arc sera d'autant plus grande que les différences tabulaires seront elles-mêmes plus grandes. Or la différence de deux iogtang est la somme des différences des log sin et des log ces correspondants (*j ; donc un arc est toujours mieux déterminé par sa tangente que par son sinus ou son cosinus. A 45 degrés, point du premier quadrant où la tangente donne la plus faible précision, la différence tabulaire de ses logarithmes est de 421 unités du septième ordre décimal pour une -variation de 10 secondes dans l'arc; d'où l'on conclut qu'une erreur d'une unité du septième ordre dans le logarithme de la tangente correspond alors à une erreur de o",024 dans l'arc. Une même erreur dans le logarithme du sinus ou du cosinus correspondrait à une erreur double, c'est-à-dire à o",o48. Pour des arcs petits, les différences des log cos sont très -petites, et, par suite, les différences des log sin sont à peu près égales aux différences des log tang; il s'ensuit qu'un petit arc ne saurait être donné avec précision par son cosinus, ainsi que cela a déjà été dit plus haut; au contraire, il est également bien déterminé par son sinus ou par sa tangente. Concluons de là que dans les solutions trigonométriques on devra rechercher autant que possible l'emploi des tangentes et rejeter avec soin l'emploi des cosinus, pour la détermination des petits arcs.

Procédés pour i-endre une formule calculable par logurithm,,,.

S8. Pour que l'on puisse appliquer immédiatement le calcul des logarithmes à la détermination de la valeur d'une ex-

(') l,a diiférenro

loKtane(j:-|-/i)— Iogtang;!;

est évidemment la somme des deui diflerenees

log sin {x-\-h) — log sina:, log C03X — lOE cos(a; -h h ).

ixiÈwi.:. 79

pression numérique, il est nécessaire que cette expression ne contienne que des facteurs monôines ; autrement on dît qu'elle n'est pas calculable par logarithmes. Si une expression ne contient d'autres facteurs polynômes que des sommes ou des différences de deux sinus, ou de doux cosinus, ou de deux tangentes d'arc donnés, on la rendra calculable par logarillimes en faisant usage des formules du n" 18 : aussi ces formules sont-elles d'une extrême importance. Mais il existe des procédés généraux que nous allons indiquer ici, pour rendre calculable par logarithmes une expression qui ne l'est pas. Considérons d'abord une expression binôme

et supposons qu'on veuille avoir logjî; «et 5 sont des nombres positifs, dont les logarithmes seuls sont donnés. On peut

Gela posé, déterminons un arc auxiliaire f , tel que l'on ait

b tang-y — -;

cet arc ç, compris entre zéro et go degrés, se calculera par la formule

logtangç^logù — log«.

La valeur de x devient alors

.c = « ( I ± tang y) = « ™sj^mj,

cosï.±sin» = co9y + cos(9o<''-ç),

= 2cos45-oos(,pzF45")-\/2cos{yrp4n

-'V'2COs(yq=45°)

yGoosle

8o TRAITÉ BE TRIGONOHÉTRIE.

Cette formule est calculaLle par logarithmes ; on en tire log^:=log« H — Iog2-l-Iogcoa(^ — 45") — logcosçC)

La même m»;thoclc s'applique à une expression polynôme quelconque ad^bdzczhddz.. .\en effet, on pourra , par l'emploi d'un arc auxiliaire, réduire d'une unité le nombre des termes de l'expression polynôme : avec un second arc auxiliaire, on diminuera encore ce nomtre d'une unité, et l'on pourra continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ait transformé l'expressiou en un

La transformation précédente n'est pas la seule qu'on puisse employer; nous indiquerons encore la suivante.

On rendra calculable par logarithmes la formule rt 4- i, où a

et II sont des nombres positifs, en posant - ;= taug^ç ; car on a a -!- S = «(i -l-lang'y)^ p- ■

Si l'on a tï > &, on rendra la formule a — b calculable par logarithmes, en posant b r^asin^ç; car on a

Résolulion de l' équation du deuxième degré par le raojen des Tables trigonométi-ù/ues.